与えられた2次方程式について、それぞれ指定された条件を満たすような定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (1) $3x^2 - x + m = 0$ が実数解をもたない。 (2) $2x^2 + x - m + 1 = 0$ が実数解をもつ。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式について、それぞれ指定された条件を満たすような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(1) $3x^2 - x + m = 0$ が実数解をもたない。

(2) $2x^2 + x - m + 1 = 0$ が実数解をもつ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とします。

- 実数解をもたないとき、$D < 0$

- 実数解をもつとき、$D \geq 0$

(1) $3x^2 - x + m = 0$ が実数解をもたないとき、判別式 $D < 0$ となります。

$a = 3, b = -1, c = m$ なので、

$D = (-1)^2 - 4(3)(m) = 1 - 12m$

$1 - 12m < 0$

$1 < 12m$

$m > \frac{1}{12}$

(2) $2x^2 + x - m + 1 = 0$ が実数解をもつとき、判別式 $D \geq 0$ となります。

$a = 2, b = 1, c = -m + 1$ なので、

$D = (1)^2 - 4(2)(-m + 1) = 1 - 8(-m + 1) = 1 + 8m - 8 = 8m - 7$

$8m - 7 \geq 0$

$8m \geq 7$

$m \geq \frac{7}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $m > \frac{1}{12}$

(2) $m \geq \frac{7}{8}$