A君とB君が6回じゃんけんをする。引き分けも含めて、A君が4回勝つ確率を求めよ。

1. 問題の内容

A君とB君が6回じゃんけんをする。引き分けも含めて、A君が4回勝つ確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1回のじゃんけんでA君が勝つ確率、負ける確率、引き分ける確率を考えます。

* A君が勝つ確率は $\frac{1}{3}$

* A君が負ける確率は $\frac{1}{3}$

* 引き分けの確率は $\frac{1}{3}$

6回のじゃんけんでA君が4回勝つ場合を考えます。残りの2回は、A君が負けるか引き分けるかです。

つまり、6回のうち4回はA君が勝ち、残りの2回はA君が負けるか引き分けることになります。

A君が4回勝ち、残りの2回は、負けまたは引き分けである確率を計算します。

まず、6回のうち4回A君が勝つ組み合わせの数を計算します。これは二項係数で表され、${}_6C_4$ と書けます。

${}_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

次に、A君が4回勝ち、残りの2回は負けまたは引き分けである確率を計算します。

A君が勝つ確率は $\frac{1}{3}$ なので、4回勝つ確率は $(\frac{1}{3})^4$ です。

残りの2回は、負けまたは引き分けなので、それぞれの確率は $\frac{1}{3}$ です。したがって、2回とも負けまたは引き分けの確率は $(\frac{2}{3})^2$ です。

したがって、A君が4回勝ち、残りの2回は負けまたは引き分けである確率は、

$(\frac{1}{3})^4 \times (\frac{2}{3})^2 = \frac{1}{81} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{729}$

最後に、上記の組み合わせの数と確率を掛け合わせます。

$15 \times \frac{4}{729} = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{20}{243}$