3つのサイコロA, B, Cを投げたとき、出た目の和が7になる場合の数を求める問題です。

1. 問題の内容

3つのサイコロA, B, Cを投げたとき、出た目の和が7になる場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

サイコロA, B, Cの出た目をそれぞれ$a, b, c$とします。

$a, b, c$はそれぞれ1から6までの整数を取り、

$a + b + c = 7$ を満たす組み合わせの数を求めます。

まず、$a, b, c$のいずれかが6であることはありえません。なぜなら、他の二つのサイコロの目の最小値は1なので、合計が7を超えるからです。

$a, b, c$のいずれかが5であるとき、$b+c = 2$となり、$b=1, c=1$ の組み合わせしかありません。

このとき、$(a, b, c) = (5, 1, 1)$という組み合わせが得られます。

この並び替えは3通り存在します：(5, 1, 1), (1, 5, 1), (1, 1, 5)。

$a, b, c$のいずれかが4であるとき、$b+c = 3$となり、$b, c$の組み合わせは$(1, 2)$と$(2, 1)$になります。

このとき、$(a, b, c) = (4, 1, 2)$または$(4, 2, 1)$という組み合わせが得られます。

(4, 1, 2)の並び替えは3! = 6通り存在します：(4, 1, 2), (4, 2, 1), (1, 4, 2), (1, 2, 4), (2, 4, 1), (2, 1, 4)。

$a, b, c$のいずれかが3であるとき、$b+c = 4$となり、$b, c$の組み合わせは$(1, 3), (2, 2), (3, 1)$になります。

このとき、$(a, b, c) = (3, 1, 3), (3, 2, 2), (3, 3, 1)$という組み合わせが得られます。

(3, 1, 3)の並び替えは3! = 6通り存在します：(3, 1, 3), (3, 3, 1), (1, 3, 3), (1, 3, 3), (3, 3, 1), (3, 1, 3)。

ただし、(1, 3, 3), (3, 3, 1), (3, 1, 3)は重複しているので、実際には3通りです。

(3, 2, 2)の並び替えは3通り存在します：(3, 2, 2), (2, 3, 2), (2, 2, 3)。

3 + 3 = 6通り

$a, b, c$のいずれかが2であるとき、$b+c = 5$となり、$b, c$の組み合わせは$(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$になります。

このとき、$(a, b, c) = (2, 1, 4), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (2, 4, 1)$という組み合わせが得られます。

(2, 1, 4)の並び替えは3! = 6通り。

(2, 2, 3)の並び替えは3通り。

したがって、6 + 3 + 3 + 6 = 18通り。

$a, b, c$のいずれかが1であるとき、$b+c = 6$となり、$b, c$の組み合わせは$(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$になります。

このとき、$(a, b, c) = (1, 1, 5), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 4, 2), (1, 5, 1)$という組み合わせが得られます。

(1, 1, 5)の並び替えは3通り。

(1, 2, 4)の並び替えは6通り。

(1, 3, 3)の並び替えは3通り。

(1, 4, 2)の並び替えは6通り。

(1, 5, 1)の並び替えは3通り。

したがって、3 + 6 + 3 + 6 + 3 = 21通り。

他の方法として、組み合わせを全て書き出すことができます。

(1, 1, 5), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 4, 2), (1, 5, 1)

(2, 1, 4), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (2, 4, 1)

(3, 1, 3), (3, 2, 2), (3, 3, 1)

(4, 1, 2), (4, 2, 1)

(5, 1, 1)

それぞれの並び替えの数を考慮すると、

3 + 6 + 3 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 + 6 + 3 + 3 + 6 + 6 + 3 = 15通り

3. 最終的な答え

15通り