一郎くんと次郎くんがゲームを行い、一郎くんの方が強いと考えられている状況で、仮説検定を行います。 (1) 帰無仮説（二人の強さが同じ）が真である場合の、一郎くんの勝利回数Xの確率分布が与えられています。有意水準0.05のときのXの棄却域を、選択肢の中から選びます。 (2) 帰無仮説が真の場合、Xが正規分布N(4,2)で近似できるとき、有意水準0.05のときのXの棄却域を選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

一郎くんと次郎くんがゲームを行い、一郎くんの方が強いと考えられている状況で、仮説検定を行います。

(1) 帰無仮説（二人の強さが同じ）が真である場合の、一郎くんの勝利回数Xの確率分布が与えられています。有意水準0.05のときのXの棄却域を、選択肢の中から選びます。

(2) 帰無仮説が真の場合、Xが正規分布N(4,2)で近似できるとき、有意水準0.05のときのXの棄却域を選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

(1)

有意水準0.05は、帰無仮説が正しいにも関わらず、帰無仮説を棄却してしまう確率の上限です。対立仮説は「一郎くんの方が強い」なので、Xが大きいほど帰無仮説を棄却しやすくなります。したがって、棄却域はXがある値以上となる範囲です。

選択肢3, 4, 5を検討します。

- X ≥ 5 の場合: $P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) = 0.219 + 0.109 + 0.031 + 0.004 = 0.363 > 0.05$

- X ≥ 6 の場合: $P(X \ge 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) = 0.109 + 0.031 + 0.004 = 0.144 > 0.05$

- X ≥ 7 の場合: $P(X \ge 7) = P(X=7) + P(X=8) = 0.031 + 0.004 = 0.035 < 0.05$

$X \ge 7$のとき、有意水準0.05以下になるため、最も適切な棄却域は$X \ge 7$です。

(2)

Xが正規分布N(4,2)に従うとき、標準化変数Zは$Z = \frac{X - 4}{\sqrt{2}}$に従います。有意水準0.05の片側検定なので、$Z \ge 1.645$となるXを求めます。

$\frac{X - 4}{\sqrt{2}} = 1.645$

$X = 4 + 1.645 \times \sqrt{2} \approx 4 + 1.645 \times 1.414 \approx 4 + 2.326 \approx 6.33$

よって、$X \ge 6.33$が棄却域として最も適切です。

3. 最終的な答え

(1) ⑤

(2) ④