赤玉4個と白玉2個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を見てから袋に戻す。この試行を3回繰り返すとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

赤玉4個と白玉2個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を見てから袋に戻す。この試行を3回繰り返すとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

* 1回の試行で赤玉が出る確率は、$\frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

* 1回の試行で白玉が出る確率は、$\frac{2}{4+2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

* 3回の試行で赤玉が2回出る確率は、二項分布で計算できる。

二項分布の確率質量関数は以下の式で表される。

$P(X=k) = {}_n C_k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

ここで、

$n$: 試行回数 (この場合 $n=3$)

$k$: 成功回数 (この場合 $k=2$)

$p$: 1回の試行で成功する確率 (この場合 $p=\frac{2}{3}$)

${}_n C_k$: 二項係数。${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

したがって、赤玉が2回出る確率は以下のようになる。

$P(X=2) = {}_3 C_2 \cdot (\frac{2}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3})^{3-2}$

${}_3 C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$

$P(X=2) = 3 \cdot (\frac{2}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3})^1 = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{9}$