0から9までの数字が等確率で出るルーレットを3回回す。出た目の数だけコマを進める。ただし、0が出た場合はスタート地点に戻る。3回ルーレットを回した結果、コマがスタート地点にある確率を求める。

1. 問題の内容

0から9までの数字が等確率で出るルーレットを3回回す。出た目の数だけコマを進める。ただし、0が出た場合はスタート地点に戻る。3回ルーレットを回した結果、コマがスタート地点にある確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、ルーレットの各数字が出る確率は $\frac{1}{10}$ である。

コマがスタート地点に戻るためには、3回のルーレットの結果の合計が10の倍数になる必要がある。

3回のルーレットの結果をそれぞれ $x, y, z$ とすると、$x+y+z$ が10の倍数となる確率を求める。

考えられる場合は以下の通り。

* 3回とも0が出る場合：$0+0+0 = 0$ (1通り)

* 3回の合計が10になる場合

* 3回の合計が20になる場合

* 3回の合計が30になる場合

全事象は $10^3 = 1000$ 通り。

3回の合計が0になるのは、(0, 0, 0) の1通り。確率は $(\frac{1}{10})^3 = \frac{1}{1000}$

3回の合計が10になる組み合わせを考える。ただし0は含まない。（なぜなら0はスタートに戻るから）

* (1,1,8), (1,2,7), (1,3,6), (1,4,5)とこれらの並び替え

* (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4)とこれらの並び替え

* (3,3,4)とこれらの並び替え

(1,1,8)は3通り、(1,2,7)は6通り、(1,3,6)は6通り、(1,4,5)は6通り

(2,2,6)は3通り、(2,3,5)は6通り、(2,4,4)は3通り

(3,3,4)は3通り

合計 3+6+6+6+3+6+3+3 = 36通り

ただし、0を含む場合を考える。

合計が10になる組み合わせは、(0, x, 10-x) ただしxは0から9の整数

これはつまり、(0,1,9), (0,2,8), (0,3,7), (0,4,6), (0,5,5), (0,6,4), (0,7,3), (0,8,2), (0,9,1), (0,0,10)となり得るが、0,0,10はあり得ない。

よって、9通りあり、それぞれの組み合わせは3通り（例えば(0,1,9), (1,0,9), (1,9,0)）なので、9*3=27通り。

0,0,10はあり得ないので考えない。

3回の合計が20になる組み合わせを考える。

3回の合計が30になる組み合わせを考える。

非常に大変なので、確率の母関数を使う。

$P(x) = (\frac{1}{10} + \frac{1}{10}x + \frac{1}{10}x^2 + \cdots + \frac{1}{10}x^9)^3 = \frac{1}{1000}(1 + x + x^2 + \cdots + x^9)^3$

スタート地点に戻るのは、3回の合計が10の倍数の時なので、合計が0,10,20,30の時

0になるのは1通り、確率は $\frac{1}{1000}$

10になるのは66通り、確率は $\frac{66}{1000}$

20になるのは201通り、確率は $\frac{201}{1000}$

30になるのは55通り、確率は $\frac{55}{1000}$

合計$\frac{1+66+201+55}{1000} = \frac{323}{1000}$

3. 最終的な答え

323/1000