三角形ABCにおいて、辺の長さが $a=3$, $b=5$, $c=7$ であるとき、角Cの大きさと内接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺の長さが $a=3$, $b=5$, $c=7$ であるとき、角Cの大きさと内接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて角Cの大きさを求める。余弦定理は以下の式で表される。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

この式に与えられた値を代入すると、

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos C$

$49 = 9 + 25 - 30 \cos C$

$49 = 34 - 30 \cos C$

$15 = -30 \cos C$

$\cos C = -\frac{1}{2}$

したがって、$C = 120^{\circ}$ となる。

次に、三角形の面積を求める。面積Sは以下の式で計算できる。

$S = \frac{1}{2}ab \sin C$

$C = 120^{\circ}$なので、$\sin C = \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

内接円の半径を$r$とすると、三角形の面積は以下の式でも表せる。

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$

これに値を代入すると、

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2}r(3+5+7)$

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2}r(15)$

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{15}{2}r$

$r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$C = 120^{\circ}$

内接円の半径は $\frac{\sqrt{3}}{2}$