兄は家から2km離れた図書館まで自転車で行き、同じ速さで家に戻った。弟は兄が出発してから15分後に時速4kmで歩いて図書館に向かった。兄の家からの道のりをグラフで表したとき、以下の問いに答える。 (1) 兄の自転車の時速を求める。 (2) 兄と弟がすれ違うのは、家から何kmの地点か求める。

1. 問題の内容

兄は家から2km離れた図書館まで自転車で行き、同じ速さで家に戻った。弟は兄が出発してから15分後に時速4kmで歩いて図書館に向かった。兄の家からの道のりをグラフで表したとき、以下の問いに答える。

(1) 兄の自転車の時速を求める。

(2) 兄と弟がすれ違うのは、家から何kmの地点か求める。

2. 解き方の手順

(1) 兄の自転車の時速を求める。

グラフより、兄は10分で2km進んでいる。

時速を求めるので、単位を時間に変換する。

10分 = $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ 時間

速さ = 距離 / 時間 なので、

速さ = $2 / (\frac{1}{6}) = 2 \times 6 = 12$ km/時

(2) 兄と弟がすれ違う地点を求める。

まず、弟が出発してから$x$分後の家からの距離を$y$とする。

弟の速さは時速4kmなので、分速は $\frac{4}{60} = \frac{1}{15}$ km/分である。

弟は兄が出発してから15分後に出発しているので、

$y = \frac{1}{15}(x - 15)$

次に、兄が図書館から家に戻る時のグラフの直線の式を求める。

グラフより、(20, 2) と (40, 0) を通る直線である。

傾きは $\frac{0 - 2}{40 - 20} = \frac{-2}{20} = -\frac{1}{10}$

切片を$b$とすると、$0 = -\frac{1}{10} \times 40 + b$

$b = 4$

よって、兄の帰りのグラフは、$y = -\frac{1}{10}x + 4$

兄と弟が出会う地点では、$y$の値が等しいので、

$\frac{1}{15}(x - 15) = -\frac{1}{10}x + 4$

$\frac{1}{15}x - 1 = -\frac{1}{10}x + 4$

$\frac{1}{15}x + \frac{1}{10}x = 5$

$\frac{2}{30}x + \frac{3}{30}x = 5$

$\frac{5}{30}x = 5$

$\frac{1}{6}x = 5$

$x = 30$

$x = 30$ を弟の式に代入すると、

$y = \frac{1}{15}(30 - 15) = \frac{1}{15} \times 15 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 兄の自転車の時速：12 km/時

(2) 兄と弟がすれ違う地点：家から1 km