0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる3個を選んで並べて3桁の整数を作る。 (i) 3桁の整数は全部で何個できるか。 (ii) 偶数は全部で何個できるか。 (iii) 321以下の整数は全部で何個できるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる3個を選んで並べて3桁の整数を作る。

(i) 3桁の整数は全部で何個できるか。

(ii) 偶数は全部で何個できるか。

(iii) 321以下の整数は全部で何個できるか。

2. 解き方の手順

(i) 3桁の整数

百の位は0以外の5通り。

十の位は百の位で使った数字以外の5通り。

一の位は百の位と十の位で使った数字以外の4通り。

よって、3桁の整数は $5 \times 5 \times 4 = 100$ 個できる。

(ii) 偶数

一の位が0, 2, 4 の場合に分けて考える。

(a) 一の位が0の場合

百の位は0以外の5通り。

十の位は百の位と一の位で使った数字以外の4通り。

よって、 $5 \times 4 = 20$ 個。

(b) 一の位が2または4の場合

百の位は0と一の位の数以外の4通り。

十の位は百の位と一の位で使った数字以外の4通り。

よって、 $2 \times 4 \times 4 = 32$ 個。

したがって、偶数は $20 + 32 = 52$ 個できる。

(iii) 321以下の整数

百の位が1の場合、2の場合、3の場合に分けて考える。

(a) 百の位が1の場合

十の位は0, 2, 3, 4, 5の5通り。

一の位は百の位と十の位以外の4通り。

よって、 $1 \times 5 \times 4 = 20$ 個。

(b) 百の位が2の場合

十の位は0, 1, 3, 4, 5の5通り。

一の位は百の位と十の位以外の4通り。

よって、 $1 \times 5 \times 4 = 20$ 個。

(c) 百の位が3の場合

十の位が0の場合：一の位は1, 2, 4, 5の4通り。

十の位が1の場合：一の位は0, 2, 4, 5の4通り。

十の位が2の場合：一の位は0, 1の2通り。（321も含むため）

よって、 $4 + 4 + 2 = 10$ 個。

したがって、321以下の整数は $20 + 20 + 10 = 50$ 個できる。

3. 最終的な答え

(i) 100個

(ii) 52個

(iii) 50個