袋の中に白球が3個、黒球が2個入っている。A, Bの2人が順番に袋から球を1つ取り出す。取り出した球は袋に戻さない。このとき、A, Bともに黒球を取り出す確率と、Bが黒球を取り出す確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白球が3個、黒球が2個入っている。A, Bの2人が順番に袋から球を1つ取り出す。取り出した球は袋に戻さない。このとき、A, Bともに黒球を取り出す確率と、Bが黒球を取り出す確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) A, Bともに黒球を取り出す確率を求める。

Aが黒球を取り出す確率は $\frac{2}{5}$ である。Aが黒球を取り出した後、袋の中には白球3個、黒球1個が残っている。この状態でBが黒球を取り出す確率は $\frac{1}{4}$ である。したがって、A, Bともに黒球を取り出す確率は、

$\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

となる。

(2) Bが黒球を取り出す確率を求める。

Bが黒球を取り出すのは、Aが黒球を取り出してBが黒球を取り出す場合と、Aが白球を取り出してBが黒球を取り出す場合の2通りがある。

(i) Aが黒球を取り出してBが黒球を取り出す場合：確率は $\frac{1}{10}$ (上記で計算済み)

(ii) Aが白球を取り出してBが黒球を取り出す場合：Aが白球を取り出す確率は $\frac{3}{5}$ である。Aが白球を取り出した後、袋の中には白球2個、黒球2個が残っている。この状態でBが黒球を取り出す確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ である。したがって、Aが白球を取り出してBが黒球を取り出す確率は、

$\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$

となる。

したがって、Bが黒球を取り出す確率は、(i)と(ii)の確率を足し合わせて、

$\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

となる。

3. 最終的な答え

A, Bともに黒球を取り出す確率は $\frac{1}{10}$

Bが黒球を取り出す確率は $\frac{2}{5}$