三角形ABCにおいて、$a=4$, $b=2\sqrt{2}$, $C=45^\circ$のとき、$c$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=4$, $b=2\sqrt{2}$, $C=45^\circ$のとき、$c$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を利用して、$c$の値を求めます。余弦定理は以下の通りです。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

与えられた値を代入します。

$a = 4$, $b = 2\sqrt{2}$, $C = 45^\circ$なので、$\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$です。

$c^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2(4)(2\sqrt{2})\cos{45^\circ}$

$c^2 = 16 + 8 - 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 24 - 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 24 - 16 \cdot \frac{2}{2}$

$c^2 = 24 - 16$

$c^2 = 8$

$c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$c = 2\sqrt{2}$