平面上に2点A(-2, 1)とB(4, 5)がある。 (1) 2点A, Bから等距離にあるx軸上の点Pの座標を求める。 (2) 点Aに関して、点Bと対称な点Qの座標を求める。

1. 問題の内容

平面上に2点A(-2, 1)とB(4, 5)がある。

(1) 2点A, Bから等距離にあるx軸上の点Pの座標を求める。

(2) 点Aに関して、点Bと対称な点Qの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) x軸上の点Pの座標を(x, 0)とする。点Aと点Pの距離AP、点Bと点Pの距離BPをそれぞれ計算し、AP = BPとなるxを求める。距離の計算には、2点間の距離の公式を使う。

$AP = \sqrt{(x - (-2))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + 1}$

$BP = \sqrt{(x - 4)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(x-4)^2 + 25}$

$AP = BP$より、両辺を2乗して、

$(x+2)^2 + 1 = (x-4)^2 + 25$

$x^2 + 4x + 4 + 1 = x^2 - 8x + 16 + 25$

$12x = 36$

$x = 3$

したがって、点Pの座標は(3, 0)となる。

(2) 点Aに関して点Bと対称な点Qの座標を(x, y)とする。点Aは線分BQの中点であるから、中点の座標の公式より、

$\frac{x+4}{2} = -2$

$\frac{y+5}{2} = 1$

これらを解くと、

$x + 4 = -4$

$x = -8$

$y + 5 = 2$

$y = -3$

したがって、点Qの座標は(-8, -3)となる。

3. 最終的な答え

(1) P(3, 0)

(2) Q(-8, -3)