与えられた条件から、以下の3つの直線について、それぞれ媒介変数表示による方程式を求める問題です。 (1) 点(1, 4)を通り、方向ベクトルが(2, 3)の直線 (2) 点(3, 5)を通り、方向ベクトルが(4, 0)の直線 (3) 2点A(2, -2), B(-1, 3)を通る直線

1. 問題の内容

与えられた条件から、以下の3つの直線について、それぞれ媒介変数表示による方程式を求める問題です。

(1) 点(1, 4)を通り、方向ベクトルが(2, 3)の直線

(2) 点(3, 5)を通り、方向ベクトルが(4, 0)の直線

(3) 2点A(2, -2), B(-1, 3)を通る直線

2. 解き方の手順

直線の媒介変数表示は、以下の式で表されます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

ここで、$\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}$ は直線上の一点の座標、$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ は方向ベクトル、$t$ は媒介変数です。

(1) 点(1, 4)を通り、方向ベクトルが(2, 3)の直線の場合、$\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ を代入します。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

よって、$x = 1 + 2t$, $y = 4 + 3t$

(2) 点(3, 5)を通り、方向ベクトルが(4, 0)の直線の場合、$\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ を代入します。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$

よって、$x = 3 + 4t$, $y = 5$

(3) 2点A(2, -2), B(-1, 3)を通る直線の場合、まず方向ベクトルを求めます。

方向ベクトルは $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 - 2 \\ 3 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$ です。

点A(2, -2)を通るとして、$\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$ を代入します。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$

よって、$x = 2 - 3t$, $y = -2 + 5t$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1 + 2t$, $y = 4 + 3t$

(2) $x = 3 + 4t$, $y = 5$

(3) $x = 2 - 3t$, $y = -2 + 5t$