点 $A(3, -1)$ を通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線と平行な直線の方程式をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

点 $A(3, -1)$ を通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線と平行な直線の方程式をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線 $3x + 2y + 1 = 0$ の傾きを求める。

$2y = -3x - 1$

$y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$

したがって、与えられた直線の傾きは $-\frac{3}{2}$ である。

(1) 垂直な直線の方程式を求める。

垂直な直線の傾きは、与えられた直線の傾きの逆数の符号を変えたものである。つまり、垂直な直線の傾きは $\frac{2}{3}$ である。

点 $A(3, -1)$ を通り、傾きが $\frac{2}{3}$ の直線の方程式は、

$y - (-1) = \frac{2}{3}(x - 3)$

$y + 1 = \frac{2}{3}x - 2$

$y = \frac{2}{3}x - 3$

$3y = 2x - 9$

$2x - 3y - 9 = 0$

(2) 平行な直線の方程式を求める。

平行な直線の傾きは、与えられた直線の傾きと等しい。つまり、平行な直線の傾きは $-\frac{3}{2}$ である。

点 $A(3, -1)$ を通り、傾きが $-\frac{3}{2}$ の直線の方程式は、

$y - (-1) = -\frac{3}{2}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$

$2y = -3x + 7$

$3x + 2y - 7 = 0$

3. 最終的な答え

垂直な直線の方程式：$2x - 3y - 9 = 0$

平行な直線の方程式：$3x + 2y - 7 = 0$