与えられた2直線が、それぞれ平行であるか、垂直であるかを判定する問題です。4組の直線について、それぞれ判定を行います。

1. 問題の内容

与えられた2直線が、それぞれ平行であるか、垂直であるかを判定する問題です。4組の直線について、それぞれ判定を行います。

2. 解き方の手順

直線 $l_1: y = m_1 x + b_1$ と 直線 $l_2: y = m_2 x + b_2$ があるとき、

* $l_1$ と $l_2$ が平行である条件は、$m_1 = m_2$ です。

* $l_1$ と $l_2$ が垂直である条件は、$m_1 m_2 = -1$ です。

直線の方程式が $ax + by + c = 0$ の形で与えられている場合は、$y = mx + b$ の形に変形して傾き $m$ を求めます。

(1) $y = 4x + 1$ と $y = 4x - 3$

傾きはそれぞれ 4 と 4 です。傾きが等しいので、平行です。

(2) $y = 3x - 1$ と $x + 3y + 2 = 0$

$x + 3y + 2 = 0$ を $y$ について解くと、$3y = -x - 2$ より、$y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$ となります。

傾きはそれぞれ 3 と $-\frac{1}{3}$ です。$3 \times (-\frac{1}{3}) = -1$ となるので、垂直です。

(3) $2x + 3y = 3$ と $4x + 6y = 5$

$2x + 3y = 3$ を $y$ について解くと、$3y = -2x + 3$ より、$y = -\frac{2}{3}x + 1$ となります。

$4x + 6y = 5$ を $y$ について解くと、$6y = -4x + 5$ より、$y = -\frac{4}{6}x + \frac{5}{6} = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{6}$ となります。

傾きはそれぞれ $-\frac{2}{3}$ と $-\frac{2}{3}$ です。傾きが等しいので、平行です。

(4) $3x + 4y = 2$ と $4x - 3y = 1$

$3x + 4y = 2$ を $y$ について解くと、$4y = -3x + 2$ より、$y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$ となります。

$4x - 3y = 1$ を $y$ について解くと、$3y = 4x - 1$ より、$y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$ となります。

傾きはそれぞれ $-\frac{3}{4}$ と $\frac{4}{3}$ です。$(-\frac{3}{4}) \times (\frac{4}{3}) = -1$ となるので、垂直です。

3. 最終的な答え

(1) 平行

(2) 垂直

(3) 平行

(4) 垂直