$\sqrt{15 - 6\sqrt{6}}$ を簡単にしなさい。

1. 問題の内容

$\sqrt{15 - 6\sqrt{6}}$ を簡単にしなさい。

2. 解き方の手順

$\sqrt{15 - 6\sqrt{6}}$の形から二重根号を外すことを考えます。

$15 - 6\sqrt{6}$ を $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形に変形することを考えます。

$6\sqrt{6} = 2 \times 3 \sqrt{6} = 2 \times 3 \times \sqrt{6}$ なので、$ab = 3\sqrt{6}$ となります。

$a = 3$, $b = \sqrt{6}$ とすると、

$a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{6})^2 = 9 + 6 = 15$ となります。

よって、$15 - 6\sqrt{6} = (3 - \sqrt{6})^2$ と変形できます。

ここで、$3 - \sqrt{6} > 0$ なので、$\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} = |3 - \sqrt{6}| = 3 - \sqrt{6}$ とはなりません。

$\sqrt{6} \approx \sqrt{4} = 2$ または $\sqrt{9} = 3$ なので、$2 < \sqrt{6} < 3$ であることがわかります。

$\sqrt{6} = 2.4494897...$ なので、$3 - \sqrt{6} > 0$ であることがわかります。

正確には $3 > \sqrt{6}$ なので、$3 - \sqrt{6} > 0$ です。

したがって、$\sqrt{(3-\sqrt{6})^2} = |3 - \sqrt{6}| = 3 - \sqrt{6}$ です。

しかし、$a= \sqrt{6}$, $b=3$ とすると

$a^2 + b^2 = (\sqrt{6})^2 + 3^2 = 6 + 9 = 15$

となり、$15 - 6\sqrt{6} = (\sqrt{6} - 3)^2$と変形できます。

$\sqrt{6} - 3 < 0$ なので、$\sqrt{(\sqrt{6}-3)^2} = |\sqrt{6} - 3| = -(\sqrt{6} - 3) = 3 - \sqrt{6}$となります。

3. 最終的な答え

$3 - \sqrt{6}$