ある正の数 $x$ を小数第1位で四捨五入したものを $<x>$ と表す。 (1) $<\sqrt{2024}>$ の値を求めよ。 (2) $3<x>+7=5x$ を満たす数 $x$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

ある正の数 $x$ を小数第1位で四捨五入したものを $<x>$ と表す。

(1) $<\sqrt{2024}>$ の値を求めよ。

(2) $3<x>+7=5x$ を満たす数 $x$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず $\sqrt{2024}$ の近似値を求める。

$44^2 = 1936$

$45^2 = 2025$

より、$44 < \sqrt{2024} < 45$ である。

$\sqrt{2024} \approx 44.988...$ であるため、小数第1位で四捨五入すると45になる。

(2)

$x$ を小数第1位で四捨五入したものが $<x>$ であるから、

$x$ は $<x> - 0.5 \leq x < <x> + 0.5$ を満たす。

$3<x>+7=5x$ より $x = \frac{3<x>+7}{5}$

この式を上の不等式に代入すると、

$<x> - 0.5 \leq \frac{3<x>+7}{5} < <x> + 0.5$

$5(<x> - 0.5) \leq 3<x> + 7 < 5(<x> + 0.5)$

$5<x> - 2.5 \leq 3<x> + 7 < 5<x> + 2.5$

まず、$5<x> - 2.5 \leq 3<x> + 7$ を解く。

$2<x> \leq 9.5$

$<x> \leq 4.75$

$<x>$ は整数であるから、$<x> \leq 4$

次に、$3<x> + 7 < 5<x> + 2.5$ を解く。

$4.5 < 2<x>$

$2.25 < <x>$

$<x>$ は整数であるから、$3 \leq <x>$

よって、$<x> = 3, 4$

$<x> = 3$ のとき、

$x = \frac{3 \times 3 + 7}{5} = \frac{16}{5} = 3.2$

$3.2$ を小数第1位で四捨五入すると3になるので、これは条件を満たす。

$<x> = 4$ のとき、

$x = \frac{3 \times 4 + 7}{5} = \frac{19}{5} = 3.8$

$3.8$ を小数第1位で四捨五入すると4になるので、これは条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $<\sqrt{2024}> = 45$

(2) $x = 3.2, 3.8$