公園の道沿いに、手順1で白と赤の棒を交互に立て、手順2で棒と棒の間に花A, B, Cを順番に植える。 問題は3つあり、それぞれ棒と花の配置に関する条件から、特定の値や本数を求める。

1. 問題の内容

公園の道沿いに、手順1で白と赤の棒を交互に立て、手順2で棒と棒の間に花A, B, Cを順番に植える。

問題は3つあり、それぞれ棒と花の配置に関する条件から、特定の値や本数を求める。

2. 解き方の手順

**問1**

(1) 花が32本植えられているとき、棒の間は $32 / 2 = 16$ 個。

棒は白から始まり交互なので、右端の棒の色は、棒の数が奇数なら白、偶数なら赤。

棒の数は $1 + 16 = 17$ 本なので、右端の棒の色は白。

花の並びはA, B, C, A, B, C,...なので、32番目の花は、 $32 \mod 3 = 2$ よりB。

(2) 棒の本数は17本なので、ア=17。

白い棒の右隣にAが植えられるのは、白い棒の右隣が赤の棒であるとき。

最初に植えたAは、1番目の白い棒と2番目の赤い棒の間。

13番目に植えたAは、12番目の花がCなので、4巡目の最初のA。これは7番目の棒と8番目の棒の間。

i番目の花Aが白い棒の右隣に来るのは、白い棒の数が $3n + 1$ （nは0以上の整数）のとき。

3番目のAが白い棒の右隣にあるとき、花の順番はAから始まり、A、B、Cの繰り返しなので、$3n+1 = 1 +3*2 = 7$ 番目。

従って、7番目の棒と8番目の棒の間。つまり5番目のA。

32本の花のうち、白い棒の右隣に植えられたAが3本あるとき、Aが植えられた位置を考える。

1番目の白い棒の右隣: A

$3n + 1$ 番目の白い棒の右隣: A

Aの配置はA, B, C, A, B, C,...なので、花Aが植えられる場所は、1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31 番目。

白い棒の右隣にAが植えられているのは、棒が $3n+1$ 番目のとき。

$3n+1 = 17$ となるnは存在しないので、白い棒は最大17本。

$3n+1$ 番目の白い棒の右隣にあるAの数は、11個になるようにするので、$3n + 1 \le 32$ なので、$n < 10.33$

白い棒の右隣にAが植えられるのが、1番目, 4番目, 7番目, 10番目, 13番目の場合を考えます。

3番目の白い棒は、3番目の花がC

4番目の白い棒は、10番目の花がA

10番目の白い棒は、28番目の花がA

$n = 1, 4, 7, 10, 13, 16, \cdots , 31$

**問2**

白い棒と赤い棒がそれぞれn本ずつあるとき、棒の数は2n本。

棒と棒の間は $2n - 1$ 個。

花は各間2本ずつなので、花の数は $2(2n - 1) = 4n - 2$ 本。

**問3**

右端の棒は白で、最後の花はA。

白い棒の右隣のAの数が11本。

白い棒の右隣のAの数を数えると11本であるということは、白い棒が赤の棒より1本多い。

最後の花はAなので、最後の棒は白い棒。

白い棒の数が $n+1$ 本、赤い棒の数が $n$ 本とする。

白い棒の右隣のAの数は11本なので、$3n + 1$ 番目の白い棒の右隣: A

花は全部で $x$ 本植えられていて、最後の花がAなので、 $x \mod 3 = 1$

白い棒の右隣のAの数は、nの値を調整して、11本になるようにする。

$3n + 1 = 11$より、$3n = 10$。この式を満たす整数nは存在しない。

3. 最終的な答え

問1

(1) 右端の棒の色: 白、最後に植えた花の種類: B

(2) ア = 17、イ = 7

問2

$4n - 2$ 本

問3

条件を満たす赤の棒の数は存在しない。