$(2a+b)^2(2a-b)^2$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

$(2a+b)^2(2a-b)^2$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(2a+b)^2$ と $(2a-b)^2$ をそれぞれ展開します。

$(2a+b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(b) + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$

$(2a-b)^2 = (2a)^2 - 2(2a)(b) + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$

次に、$(4a^2 + 4ab + b^2)$ と $(4a^2 - 4ab + b^2)$ を掛け合わせます。

$(4a^2 + b^2 + 4ab)(4a^2 + b^2 - 4ab)$ と整理し、和と差の積の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用します。

$A = 4a^2 + b^2$, $B = 4ab$ と置くと、

$(4a^2 + b^2)^2 - (4ab)^2$

$= (16a^4 + 8a^2b^2 + b^4) - 16a^2b^2$

$= 16a^4 - 8a^2b^2 + b^4$

$(4a^2 - b^2)^2 = 16a^4 - 8a^2b^2 + b^4$

したがって、

$(2a+b)^2(2a-b)^2 = ((2a+b)(2a-b))^2$ と変形してから計算することもできます。

$(2a+b)(2a-b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$

したがって

$(4a^2 - b^2)^2 = (4a^2)^2 - 2(4a^2)(b^2) + (b^2)^2 = 16a^4 - 8a^2b^2 + b^4$

3. 最終的な答え

$16a^4 - 8a^2b^2 + b^4$