$n$ を正の整数とするとき、$\sqrt{45n}$ が整数となるような、$n$ の値のうち最も小さいものを求める。

1. 問題の内容

$n$ を正の整数とするとき、$\sqrt{45n}$ が整数となるような、$n$ の値のうち最も小さいものを求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{45n}$ が整数になるためには、$45n$ がある整数の2乗になる必要があります。まず、45を素因数分解します。

$45 = 3^2 \times 5$

したがって、

$\sqrt{45n} = \sqrt{3^2 \times 5 \times n}$

$\sqrt{45n}$ が整数となるためには、根号の中身が平方数でなければなりません。$3^2$ はすでに平方数なので、$5 \times n$ が平方数になる必要があります。したがって、$n$ は少なくとも5の倍数でなければなりません。

$n = 5$ のとき、$5 \times n = 5 \times 5 = 25 = 5^2$ となり平方数になります。

したがって、$\sqrt{45n} = \sqrt{3^2 \times 5^2} = \sqrt{(3 \times 5)^2} = \sqrt{15^2} = 15$ となり、整数になります。

3. 最終的な答え

$5$