与えられた9個の数式を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた9個の数式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

(1) $5\sqrt{2} \times 3\sqrt{6}$

係数同士、ルート同士をかけます。

$5 \times 3 \times \sqrt{2} \times \sqrt{6} = 15\sqrt{12} = 15\sqrt{4 \times 3} = 15 \times 2 \sqrt{3} = 30\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{3}\sqrt{48}$

$\sqrt{3} \times \sqrt{48} = \sqrt{3 \times 48} = \sqrt{144} = 12$

(3) $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{7}}$

$\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{42}{7}} = \sqrt{6}$

(4) $\sqrt{3}(2\sqrt{3}-\sqrt{6})$

分配法則を使って展開します。

$\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \times \sqrt{6} = 2 \times 3 - \sqrt{18} = 6 - \sqrt{9 \times 2} = 6 - 3\sqrt{2}$

(5) $\sqrt{5}(3\sqrt{20}-4\sqrt{45})$

$\sqrt{5}(3\sqrt{20}-4\sqrt{45}) = \sqrt{5}(3\sqrt{4\times 5} - 4\sqrt{9\times 5}) = \sqrt{5}(3\times 2\sqrt{5} - 4\times 3\sqrt{5}) = \sqrt{5}(6\sqrt{5} - 12\sqrt{5}) = \sqrt{5}(-6\sqrt{5}) = -6 \times 5 = -30$

(6) $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使って展開します。

$(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7 = 10 + 2\sqrt{21}$

(7) $(\sqrt{6}-3\sqrt{2})^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使って展開します。

$(\sqrt{6}-3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \times \sqrt{6} \times 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 6 - 6\sqrt{12} + 9 \times 2 = 6 - 6\sqrt{4\times 3} + 18 = 6 - 6 \times 2 \sqrt{3} + 18 = 24 - 12\sqrt{3}$

(8) $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(2\sqrt{2}+\sqrt{3})$

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を使って展開します。

$(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(2\sqrt{2}+\sqrt{3}) = (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 \times 2 - 3 = 8 - 3 = 5$

(9) $(\sqrt{20}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{27})$

$(\sqrt{20}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{27}) = (\sqrt{4\times 5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{9\times 3}) = (2\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-3\sqrt{3}) = 2\sqrt{5} \times \sqrt{5} - 2\sqrt{5} \times 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \times \sqrt{5} - \sqrt{3} \times 3\sqrt{3} = 2 \times 5 - 6\sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \times 3 = 10 - 5\sqrt{15} - 9 = 1 - 5\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1) $30\sqrt{3}$

(2) $12$

(3) $\sqrt{6}$

(4) $6 - 3\sqrt{2}$

(5) $-30$

(6) $10 + 2\sqrt{21}$

(7) $24 - 12\sqrt{3}$

(8) $5$

(9) $1 - 5\sqrt{15}$