中心の座標が$(1, 1)$で、直線$l: 2x - y - 11 = 0$に接する円Cの半径を求め、さらに、Cと$l$の接点のx座標を求めよ。

1. 問題の内容

中心の座標が$(1, 1)$で、直線$l: 2x - y - 11 = 0$に接する円Cの半径を求め、さらに、Cと$l$の接点のx座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円Cの半径を求める。円Cの半径は、中心$(1, 1)$と直線$2x - y - 11 = 0$との距離に等しい。点と直線の距離の公式を使う。点$(x_0, y_0)$と直線$ax + by + c = 0$との距離dは

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

今回の問題では、$(x_0, y_0) = (1, 1)$、 $a = 2$, $b = -1$, $c = -11$なので、

$r = \frac{|2(1) - 1 - 11|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$

$r = \frac{|2 - 1 - 11|}{\sqrt{4 + 1}}$

$r = \frac{|-10|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$

よって、円Cの半径は$2\sqrt{5}$である。

(2) 円Cと直線$l$の接点の座標を求める。

接点は、中心$(1, 1)$から直線$l$に下ろした垂線の足である。

直線$l$の法線ベクトルは$\vec{n} = (2, -1)$である。中心$(1, 1)$を通る$l$の法線方向の直線の方程式は、

$x = 1 + 2t$

$y = 1 - t$

と表せる。この直線と直線$l: 2x - y - 11 = 0$の交点が接点となる。

$2(1 + 2t) - (1 - t) - 11 = 0$

$2 + 4t - 1 + t - 11 = 0$

$5t - 10 = 0$

$5t = 10$

$t = 2$

したがって、接点の座標は

$x = 1 + 2(2) = 1 + 4 = 5$

$y = 1 - 2 = -1$

接点の座標は$(5, -1)$。求めるのはx座標なので、5。

3. 最終的な答え

円Cの半径: $2\sqrt{5}$

接点のx座標: 5