直線 $l: y = x + 8$ と直線 $m: y = -2x + 20$ がある。 直線 $l$ と $m$ の交点を A, 直線 $l$ と $x$ 軸の交点を B, 直線 $m$ と $x$ 軸の交点を C とする。 原点 O を通り、三角形 ABC の面積を二等分する直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = x + 8$ と直線 $m: y = -2x + 20$ がある。

直線 $l$ と $m$ の交点を A, 直線 $l$ と $x$ 軸の交点を B, 直線 $m$ と $x$ 軸の交点を C とする。

原点 O を通り、三角形 ABC の面積を二等分する直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点 A, B, C の座標を求める。

- 点 A は直線 $l$ と $m$ の交点なので、連立方程式

$y = x + 8$

$y = -2x + 20$

を解く。$x + 8 = -2x + 20$ より $3x = 12$, $x = 4$。したがって、$y = 4 + 8 = 12$。

よって、A(4, 12)。

- 点 B は直線 $l$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を $y = x + 8$ に代入すると $0 = x + 8$, $x = -8$。

よって、B(-8, 0)。

- 点 C は直線 $m$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を $y = -2x + 20$ に代入すると $0 = -2x + 20$, $2x = 20$, $x = 10$。

よって、C(10, 0)。

三角形 ABC の面積を二等分する直線は、辺 BC の中点を通る。

BC の中点を M とすると、M の座標は

$M = (\frac{-8 + 10}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (1, 0)$

原点 O を通り、点 M(1, 0) を通る直線の式は、$y = ax$ とおける。

点 M(1, 0) を通るので、$0 = a * 1$。したがって、$a = 0$。

よって、求める直線の式は $y = 0$。

3. 最終的な答え

$y = 0$