2つの円が点Pで接している。円周角 $\angle APB = \theta$, $\angle CPD = 45^\circ$, $\angle BPC = 55^\circ$ である。このとき、$\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの円が点Pで接している。円周角 $\angle APB = \theta$, $\angle CPD = 45^\circ$, $\angle BPC = 55^\circ$ である。このとき、$\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

2つの円が点Pで接しているので、点Pにおける共通接線を引くことができる。この共通接線と弦で作る角は、その弦に対する円周角と等しい。

まず、$\angle BPD$ を求める。

$\angle BPD = 180^\circ - \angle BPC = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$

次に、円の接線と弦の関係を利用する。点Pにおける共通接線を引くと、$\angle APB = \theta$ より、$\angle BPC = 55^\circ$ なので、$\angle PCD = 45^\circ$ であることから、$\angle ABP = \angle PCD = 45^\circ$ である。同様に、$\angle CDP = \angle PAB = \theta$ となる。

ここで、四角形 ABPD の内角の和は $360^\circ$ であるから、

$\angle A + \angle B + \angle D + \angle P = 360^\circ$

$\theta + 45^\circ + 45^\circ + 125^\circ = 360^\circ$

$\theta + \angle ADP + \angle BAP + 55^\circ+45^\circ=360^\circ$

$\angle BAP = \angle CDP$

$\angle ABP = \angle DCP$

$\theta = \angle ADP + \angle BAP$

$\angle CPD = 45^\circ$ より、$\angle PAD = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.

$\angle ABP = 45^\circ$.

三角形 ABP において、$\angle APB = \theta$ なので、$\theta + \angle ABP + \angle BAP = 180^\circ$.

$\angle BAP = 180^\circ - 55^\circ - \angle CBP = 70^\circ$

$\angle CDP = \angle CBP = 45^\circ$.

$\angle ADB = \angle BAP - 45 =30^\circ$.

$\theta + 45^\circ + \angle ADB = 180^\circ$

$\angle ABP = \angle CPD = 45^\circ$

$\angle CPD = 45^\circ$ から円周角の定理より$\angle CPD = \angle CAD$

$\angle APB = \theta$

$\angle BPC = 55^\circ$

$\angle CPD = 45^\circ$

よって、$\angle APD = 55^\circ + 45^\circ = 100^\circ$

$\angle PAB = x$ とすると、三角形ABPで

$\theta + x + 45^\circ = 180^\circ$.よって、$x=135^\circ - \theta$

三角形CDPで $\angle CDP = \theta$なので、$45^\circ + \theta + y =180^\circ$よって、$y=135^\circ - \theta$。

これは $x=y$

$\angle BPD = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.

四角形ABPDの内角の和は$360^\circ$なので

$\theta + 45^\circ + 45^\circ + 125^\circ = 360^\circ$

$\theta = 180^\circ-45^\circ -45^\circ-125^\circ=360^\circ-215^\circ=75^\circ$.

$\theta = 70^\circ$.

3. 最終的な答え

$\theta = 70^\circ$