放物線 $y = x^2 - x$ の頂点をPとする。放物線上の点Qは原点O(0, 0) と点Pとは異なる点である。$\angle OPQ$ が直角であるとき、点Qの座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - x$ の頂点をPとする。放物線上の点Qは原点O(0, 0) と点Pとは異なる点である。$\angle OPQ$ が直角であるとき、点Qの座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - x$ の頂点Pの座標を求める。平方完成を行うと、

$y = x^2 - x = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

よって、頂点Pの座標は $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$ である。

次に、点Qの座標を $(x, x^2 - x)$ とする。$\angle OPQ$ が直角なので、ベクトル $\overrightarrow{OP}$ とベクトル $\overrightarrow{OQ}$ の内積が0となる。

$\overrightarrow{OP} = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$

$\overrightarrow{OQ} = (x, x^2 - x)$

$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0$ より、

$\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}(x^2 - x) = 0$

$2x - (x^2 - x) = 0$

$3x - x^2 = 0$

$x(3 - x) = 0$

$x = 0, 3$

$x = 0$ のとき、点Qは原点O(0, 0) と一致するので、これは条件を満たさない。

$x = 3$ のとき、点Qのy座標は $y = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$

したがって、点Qの座標は $(3, 6)$

3. 最終的な答え

点Qの座標は $(3, 6)$