曲線 $y = x^2 (x \ge 0)$ 上に点A、曲線 $y = \frac{1}{4}x^2 (x \ge 0)$ 上に点Bをとり、x軸上に点C, Dをとって長方形ACDBを作る。点Aのx座標を $t$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) 点Bの座標を $t$ を使って表す。 (2) 長方形ACDBが正方形になるときの $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 (x \ge 0)$ 上に点A、曲線 $y = \frac{1}{4}x^2 (x \ge 0)$ 上に点Bをとり、x軸上に点C, Dをとって長方形ACDBを作る。点Aのx座標を $t$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) 点Bの座標を $t$ を使って表す。

(2) 長方形ACDBが正方形になるときの $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Aの座標は、x座標が $t$ であり、曲線 $y = x^2$ 上にあるため、座標は $(t, t^2)$ である。

長方形ACDBであるため、点Bのy座標は点Aのy座標と同じである。

つまり、点Bのy座標は $t^2$ である。

点Bは曲線 $y = \frac{1}{4}x^2$ 上にあるので、点Bのx座標を $x$ とすると、

$t^2 = \frac{1}{4}x^2$ となる。

$x^2 = 4t^2$ であり、$x \ge 0$ なので、$x = 2t$ となる。

したがって、点Bの座標は $(2t, t^2)$ である。

(2)

長方形ACDBが正方形のとき、AC = CDとなる。

ACの長さは、点Aのy座標 $t^2$ に等しい。

CDの長さは、点Dのx座標から点Cのx座標を引いたものに等しい。

点Dのx座標は点Bのx座標に等しく、 $2t$ である。

点Cのx座標は点Aのx座標に等しく、$t$ である。

したがって、CDの長さは $2t - t = t$ となる。

正方形の条件AC = CDより、 $t^2 = t$ となる。

$t^2 - t = 0$

$t(t - 1) = 0$

$t = 0$ または $t = 1$

$t = 0$ のとき、正方形ACDBは点となるので、不適である。

したがって、$t = 1$ である。

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標は $(2t, t^2)$

(2) $t = 1$