2つの定点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$)と動点P($\vec{p}$)がある。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$であり、$\vec{a}$と$\vec{b}$は平行でないとする。点Pが次のベクトル方程式で表されるとき、P($\vec{p}$)は円を描く。 $|\vec{p}+3\vec{a}|=3|\vec{p}-\vec{a}|$ その円の中心Cの位置と半径を答えよ。ただし点Oを位置ベクトルの基準とする。

1. 問題の内容

2つの定点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$)と動点P($\vec{p}$)がある。ただし、$\vec{a} \neq \vec{0}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$であり、$\vec{a}$と$\vec{b}$は平行でないとする。点Pが次のベクトル方程式で表されるとき、P($\vec{p}$)は円を描く。

$|\vec{p}+3\vec{a}|=3|\vec{p}-\vec{a}|$

その円の中心Cの位置と半径を答えよ。ただし点Oを位置ベクトルの基準とする。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形して、円の方程式の形にする。

まず、両辺を2乗する。

$|\vec{p}+3\vec{a}|^2 = 9|\vec{p}-\vec{a}|^2$

$(\vec{p}+3\vec{a}) \cdot (\vec{p}+3\vec{a}) = 9(\vec{p}-\vec{a}) \cdot (\vec{p}-\vec{a})$

$|\vec{p}|^2 + 6\vec{p}\cdot\vec{a} + 9|\vec{a}|^2 = 9(|\vec{p}|^2 - 2\vec{p}\cdot\vec{a} + |\vec{a}|^2)$

$|\vec{p}|^2 + 6\vec{p}\cdot\vec{a} + 9|\vec{a}|^2 = 9|\vec{p}|^2 - 18\vec{p}\cdot\vec{a} + 9|\vec{a}|^2$

$8|\vec{p}|^2 - 24\vec{p}\cdot\vec{a} = 0$

$|\vec{p}|^2 - 3\vec{p}\cdot\vec{a} = 0$

$|\vec{p}|^2 - 3\vec{p}\cdot\vec{a} + \frac{9}{4}|\vec{a}|^2 = \frac{9}{4}|\vec{a}|^2$

$(\vec{p} - \frac{3}{2}\vec{a})^2 = \frac{9}{4}|\vec{a}|^2$

$|\vec{p} - \frac{3}{2}\vec{a}| = \frac{3}{2}|\vec{a}|$

これは中心が$\frac{3}{2}\vec{a}$で、半径が$\frac{3}{2}|\vec{a}|$の円を表す。

中心の位置ベクトルは$\frac{3}{2}\vec{a}$なので、線分OAを3:1に外分する点に位置する。

半径は$\frac{3}{2}|\vec{a}|$である。

3. 最終的な答え

Cは線分OAを3:1に外分する点に位置し、半径は$\frac{3}{2}|\vec{a}|$である。