平行四辺形ABCDにおいて、$\angle ABC = \frac{\pi}{6}$, $AB = a$, $BC = b$, $a \le b$とする。次の条件を満たす長方形EFGHを考え、その面積をSとする。条件：点A, B, C, Dはそれぞれ辺EF, FG, GH, HE上にある（ただし、辺はその両端の点も含むものとする）。 (1) $\angle BCG = \theta$とするとき、Sを$a, b, \theta$を用いて表せ。 (2) Sのとりうる値の最大値を$a, b$を用いて表せ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$\angle ABC = \frac{\pi}{6}$, $AB = a$, $BC = b$, $a \le b$とする。次の条件を満たす長方形EFGHを考え、その面積をSとする。条件：点A, B, C, Dはそれぞれ辺EF, FG, GH, HE上にある（ただし、辺はその両端の点も含むものとする）。

(1) $\angle BCG = \theta$とするとき、Sを$a, b, \theta$を用いて表せ。

(2) Sのとりうる値の最大値を$a, b$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、長方形EFGHの辺の長さを求める。

$BG = b \cos \theta$

$CG = b \sin \theta$

また、平行四辺形ABCDは長方形EFGHに内接しているので、

$EF = BG + a \cos(\frac{\pi}{6} - \theta)$

$FG = CG + a \sin(\frac{\pi}{6} - \theta)$

したがって、長方形EFGHの面積Sは

$S = EF \cdot FG = (b \cos \theta + a \cos(\frac{\pi}{6} - \theta))(b \sin \theta + a \sin(\frac{\pi}{6} - \theta))$

$\cos(\frac{\pi}{6} - \theta) = \cos \frac{\pi}{6} \cos \theta + \sin \frac{\pi}{6} \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta$

$\sin(\frac{\pi}{6} - \theta) = \sin \frac{\pi}{6} \cos \theta - \cos \frac{\pi}{6} \sin \theta = \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$

$S = (b \cos \theta + a (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta))(b \sin \theta + a (\frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta))$

$S = (b + \frac{\sqrt{3}}{2} a) \cos \theta + \frac{1}{2} a \sin \theta) ((b - \frac{\sqrt{3}}{2} a) \sin \theta + \frac{1}{2} a \cos \theta)$

$S = (b + \frac{\sqrt{3}}{2} a)(b - \frac{\sqrt{3}}{2} a) \sin \theta \cos \theta + \frac{1}{2} a (b + \frac{\sqrt{3}}{2} a) \cos^2 \theta + \frac{1}{2} a (b - \frac{\sqrt{3}}{2} a) \sin^2 \theta + \frac{1}{4} a^2 \sin \theta \cos \theta$

$S = (b^2 - \frac{3}{4} a^2) \sin \theta \cos \theta + \frac{1}{2} a b (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) + \frac{1}{4} a^2 \sin \theta \cos \theta$

$S = (b^2 - \frac{3}{4} a^2 + \frac{1}{4} a^2) \frac{1}{2} \sin 2\theta + \frac{1}{2} a b + \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cos 2\theta$

$S = \frac{1}{2} (b^2 - \frac{1}{2} a^2) \sin 2\theta + \frac{1}{2} ab + \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cos 2\theta$

$S = \frac{1}{2} ab + \frac{1}{4} (2b^2 - a^2) \sin 2\theta + \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cos 2\theta$

(2)

Sが最大となるのは、

$\frac{1}{4} (2b^2 - a^2) \sin 2\theta + \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cos 2\theta$が最大となるときである。

$f(\theta) = \frac{1}{4} (2b^2 - a^2) \sin 2\theta + \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cos 2\theta$

$f(\theta) = A \sin(2\theta + \alpha)$

$A = \sqrt{(\frac{1}{4} (2b^2 - a^2))^2 + (\frac{\sqrt{3}}{4} a^2)^2}$

$A = \sqrt{\frac{1}{16} (4b^4 - 4b^2 a^2 + a^4) + \frac{3}{16} a^4}$

$A = \sqrt{\frac{1}{16} (4b^4 - 4b^2 a^2 + 4a^4)}$

$A = \frac{1}{4} \sqrt{4b^4 - 4b^2 a^2 + 4a^4}$

$A = \frac{1}{2} \sqrt{b^4 - b^2 a^2 + a^4}$

したがって、Sの最大値は

$S_{max} = \frac{1}{2} ab + \frac{1}{2} \sqrt{b^4 - a^2 b^2 + a^4}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{1}{2} ab + \frac{1}{4} (2b^2 - a^2) \sin 2\theta + \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cos 2\theta$

(2) $S_{max} = \frac{1}{2} ab + \frac{1}{2} \sqrt{a^4 - a^2b^2 + b^4}$