放物線 $y = \frac{2}{3}x^2$ と直線 $l$ の交点を A, B とする。A, B の x 座標はそれぞれ -3, 6 である。以下の問いに答える。 (1) 直線 $l$ の式を求めよ。 (2) $\triangle OAB$ の面積を求めよ。 (3) 点 A を通り、$\triangle OAB$ の面積を2等分する直線の式を求めよ。 (4) 放物線上の O と B の間に点 P をとり、$\triangle PAB = \triangle OAB$ とする。このときの点 P の座標を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{2}{3}x^2$ と直線 $l$ の交点を A, B とする。A, B の x 座標はそれぞれ -3, 6 である。以下の問いに答える。

(1) 直線 $l$ の式を求めよ。

(2) $\triangle OAB$ の面積を求めよ。

(3) 点 A を通り、$\triangle OAB$ の面積を2等分する直線の式を求めよ。

(4) 放物線上の O と B の間に点 P をとり、$\triangle PAB = \triangle OAB$ とする。このときの点 P の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の式を求める。

まず、点 A と点 B の座標を求める。

A の x 座標は -3 なので、$y = \frac{2}{3}(-3)^2 = \frac{2}{3} \times 9 = 6$。よって、A の座標は (-3, 6)。

B の x 座標は 6 なので、$y = \frac{2}{3}(6)^2 = \frac{2}{3} \times 36 = 24$。よって、B の座標は (6, 24)。

A(-3, 6) と B(6, 24) を通る直線の式を $y = ax + b$ とおく。

この式に A と B の座標を代入する。

$6 = -3a + b$

$24 = 6a + b$

2 つの式を連立させて解く。

2 つ目の式から1つ目の式を引くと、

$18 = 9a$

$a = 2$

$a = 2$ を 1 つ目の式に代入すると、

$6 = -3(2) + b$

$6 = -6 + b$

$b = 12$

よって、直線 $l$ の式は $y = 2x + 12$。

(2) $\triangle OAB$ の面積を求める。

$\triangle OAB$ の面積は、原点 O から直線 $l$ までの距離を高さ、$AB$を底辺としたときの面積として計算できるが、ここでは、ベクトルを用いて解く。

A(-3, 6)、B(6, 24) より、

$\triangle OAB = \frac{1}{2} | (-3) \times 24 - 6 \times 6 | = \frac{1}{2} | -72 - 36 | = \frac{1}{2} | -108 | = \frac{1}{2} \times 108 = 54$

(3) 点 A を通り、$\triangle OAB$ の面積を2等分する直線の式を求める。

$\triangle OAB$ の面積を2等分する直線は、線分 OB の中点を通る。

OB の中点 M の座標は、$(\frac{6+0}{2}, \frac{24+0}{2}) = (3, 12)$。

A(-3, 6) と M(3, 12) を通る直線の式を $y = cx + d$ とおく。

$6 = -3c + d$

$12 = 3c + d$

2 つの式を連立させて解く。

2 つの式を足すと、

$18 = 2d$

$d = 9$

$d = 9$ を 1 つ目の式に代入すると、

$6 = -3c + 9$

$3c = 3$

$c = 1$

よって、面積を二等分する直線の式は $y = x + 9$。

(4) 放物線上の O と B の間に点 P をとり、$\triangle PAB = \triangle OAB$ とする。このときの点 P の座標を求める。

$\triangle PAB = \triangle OAB$ となるのは、AB と平行な直線が放物線と交わる点が点 P となるときである。

AB と平行な直線の傾きは2。

P の座標を $(t, \frac{2}{3}t^2)$ とおく。この点を通り AB と平行な直線は $y = 2x+k$とおける。ABと平行で$\triangle PAB = \triangle OAB$を満たす直線は、直線ABと原点との距離と、点Pを通る直線との距離が等しい必要がある。しかし計算が複雑になるため、違う方法を考える。

$\triangle PAB = \triangle OAB$ より、$\triangle OAB - \triangle PAB =0$ 。点A、Bを結ぶ直線の方程式は$y=2x+12$である。

この直線ABと点O、点Pの距離をそれぞれ考える。

$AB$と点$O$の距離は$\frac{|2*0-0+12|}{\sqrt{2^2+1}}= \frac{12}{\sqrt{5}}$

$P(t, \frac{2}{3}t^2)$とすると、$AB$と点$P$の距離は、$\frac{|2t - \frac{2}{3}t^2 + 12|}{\sqrt{5}}$となる。

したがって、$|2t - \frac{2}{3}t^2 + 12| = 12$ を解く。

$2t - \frac{2}{3}t^2 + 12 = 12$ もしくは $2t - \frac{2}{3}t^2 + 12 = -12$

$2t - \frac{2}{3}t^2 = 0$ もしくは $2t - \frac{2}{3}t^2 = -24$

$t(2 - \frac{2}{3}t) = 0$ もしくは $2t - \frac{2}{3}t^2 = -24$

$t = 0$ または $t = 3$

$2t - \frac{2}{3}t^2 = -24$

$\frac{2}{3}t^2-2t-24=0$

$t^2-3t-36=0$

$t=\frac{3\pm \sqrt{9+144}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{153}}{2}=\frac{3\pm 3\sqrt{17}}{2}$

点PはOとBの間にあるので$0 \lt t \lt 6$であるから、$t = 3$が解となる。

$t = 3$のとき、$y = \frac{2}{3}(3)^2 = \frac{2}{3} \times 9 = 6$。

よって、点 P の座標は (3, 6)。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x + 12$

(2) 54

(3) $y = x + 9$

(4) (3, 6)