放物線 $y = x^2 - x$ の頂点を $P$ とする。放物線上の点 $Q$ は原点 $O(0, 0)$ とも点 $P$ とも異なるとする。このとき、$\angle OPQ$ が直角となる点 $Q$ の座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - x$ の頂点を $P$ とする。放物線上の点 $Q$ は原点 $O(0, 0)$ とも点 $P$ とも異なるとする。このとき、$\angle OPQ$ が直角となる点 $Q$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - x$ の頂点 $P$ の座標を求める。

平方完成すると $y = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$ となるので、頂点 $P$ の座標は $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$ である。

次に、点 $Q$ の座標を $(t, t^2 - t)$ とおく（$t \neq 0, \frac{1}{2}$）。

$\angle OPQ$ が直角であるという条件から、$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{QP} = 0$ が成り立つ。

$\overrightarrow{OP} = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$ であり、

$\overrightarrow{QP} = (\frac{1}{2} - t, -\frac{1}{4} - (t^2 - t)) = (\frac{1}{2} - t, -t^2 + t - \frac{1}{4})$ である。

したがって、

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\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{QP} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - t) - \frac{1}{4}(-t^2 + t - \frac{1}{4}) = 0

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\frac{1}{4} - \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{4}t + \frac{1}{16} = 0

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\frac{1}{4}t^2 - \frac{3}{4}t + \frac{5}{16} = 0

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両辺を 16 倍して

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4t^2 - 12t + 5 = 0

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(2t - 1)(2t - 5) = 0

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よって、$t = \frac{1}{2}, \frac{5}{2}$ である。

ただし、$Q$ は $P$ と異なる点なので、$t \neq \frac{1}{2}$。したがって、$t = \frac{5}{2}$ である。

このとき、$Q$ の座標は

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(\frac{5}{2}, (\frac{5}{2})^2 - \frac{5}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{25}{4} - \frac{10}{4}) = (\frac{5}{2}, \frac{15}{4})

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3. 最終的な答え

$(\frac{5}{2}, \frac{15}{4})$