放物線 $y = x^2 - x$ の頂点をPとする。放物線上の点Qは、原点O(0, 0)とも点Pとも異なる。$\angle OPQ$ が直角であるとき、点Qの座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - x$ の頂点をPとする。放物線上の点Qは、原点O(0, 0)とも点Pとも異なる。$\angle OPQ$ が直角であるとき、点Qの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - x$ の頂点Pの座標を求める。平方完成すると、

$y = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

したがって、頂点Pの座標は $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$ である。

次に、点Qの座標を $(t, t^2 - t)$ とする。ただし、$t \neq 0$ かつ $t \neq \frac{1}{2}$ とする。

$\vec{OP}$ と $\vec{PQ}$ が直交するので、内積が0になる。

$\vec{OP} = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$

$\vec{PQ} = (t - \frac{1}{2}, t^2 - t + \frac{1}{4})$

$\vec{OP} \cdot \vec{PQ} = \frac{1}{2}(t - \frac{1}{2}) - \frac{1}{4}(t^2 - t + \frac{1}{4}) = 0$

これを解くと、

$\frac{1}{2}t - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}t^2 + \frac{1}{4}t - \frac{1}{16} = 0$

$4t - 1 - t^2 + t - \frac{1}{4} = 0$

$-t^2 + 5t - \frac{5}{4} = 0$

$t^2 - 5t + \frac{5}{4} = 0$

$4t^2 - 20t + 5 = 0$

$t = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 80}}{8} = \frac{20 \pm \sqrt{320}}{8} = \frac{20 \pm 8\sqrt{5}}{8} = \frac{5 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

したがって、

$t = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{2}$ のとき

$t^2 - t = (\frac{5 + 2\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{5 + 2\sqrt{5}}{2} = \frac{25 + 20\sqrt{5} + 20}{4} - \frac{10 + 4\sqrt{5}}{4} = \frac{45 + 20\sqrt{5} - 10 - 4\sqrt{5}}{4} = \frac{35 + 16\sqrt{5}}{4}$

$t = \frac{5 - 2\sqrt{5}}{2}$ のとき

$t^2 - t = (\frac{5 - 2\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{5 - 2\sqrt{5}}{2} = \frac{25 - 20\sqrt{5} + 20}{4} - \frac{10 - 4\sqrt{5}}{4} = \frac{45 - 20\sqrt{5} - 10 + 4\sqrt{5}}{4} = \frac{35 - 16\sqrt{5}}{4}$

3. 最終的な答え

$(\frac{5 + 2\sqrt{5}}{2}, \frac{35 + 16\sqrt{5}}{4})$、$(\frac{5 - 2\sqrt{5}}{2}, \frac{35 - 16\sqrt{5}}{4})$