$0 < a < \sqrt{3}$ とする。3直線 $l: y = 1 - x$, $m: y = \sqrt{3}x + 1$, $n: y = ax$ がある。$l$ と $m$ の交点を $A$, $m$ と $n$ の交点を $B$, $n$ と $l$ の交点を $C$ とする。 (1) 3点 $A, B, C$ の座標を求めよ。 (2) $\triangle ABC$ の面積 $S$ を $a$ で表せ。 (3) $\triangle ABC$ の面積 $S$ が最小となる $a$ を求めよ。また、そのときの $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < a < \sqrt{3}$ とする。3直線 $l: y = 1 - x$, $m: y = \sqrt{3}x + 1$, $n: y = ax$ がある。$l$ と $m$ の交点を $A$, $m$ と $n$ の交点を $B$, $n$ と $l$ の交点を $C$ とする。

(1) 3点 $A, B, C$ の座標を求めよ。

(2) $\triangle ABC$ の面積 $S$ を $a$ で表せ。

(3) $\triangle ABC$ の面積 $S$ が最小となる $a$ を求めよ。また、そのときの $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点 A は直線 $l: y = 1 - x$ と $m: y = \sqrt{3}x + 1$ の交点なので、

$1 - x = \sqrt{3}x + 1$

$x(1 + \sqrt{3}) = 0$

$x = 0$

$y = 1 - 0 = 1$

よって、A(0, 1)

点 B は直線 $m: y = \sqrt{3}x + 1$ と $n: y = ax$ の交点なので、

$\sqrt{3}x + 1 = ax$

$(\sqrt{3} - a)x = -1$

$x = \frac{-1}{\sqrt{3} - a} = \frac{1}{a - \sqrt{3}}$

$y = a \cdot \frac{1}{a - \sqrt{3}} = \frac{a}{a - \sqrt{3}}$

よって、B$(\frac{1}{a - \sqrt{3}}, \frac{a}{a - \sqrt{3}})$

点 C は直線 $n: y = ax$ と $l: y = 1 - x$ の交点なので、

$ax = 1 - x$

$(a + 1)x = 1$

$x = \frac{1}{a + 1}$

$y = a \cdot \frac{1}{a + 1} = \frac{a}{a + 1}$

よって、C$(\frac{1}{a + 1}, \frac{a}{a + 1})$

(2)

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、A(0, 1), B$(\frac{1}{a - \sqrt{3}}, \frac{a}{a - \sqrt{3}})$, C$(\frac{1}{a + 1}, \frac{a}{a + 1})$ より、

$S = \frac{1}{2} |0(\frac{a}{a - \sqrt{3}} - \frac{a}{a + 1}) + \frac{1}{a - \sqrt{3}}(\frac{a}{a + 1} - 1) + \frac{1}{a + 1}(1 - \frac{a}{a - \sqrt{3}})|$

$S = \frac{1}{2} |\frac{1}{a - \sqrt{3}}(\frac{a - (a + 1)}{a + 1}) + \frac{1}{a + 1}(\frac{a - \sqrt{3} - a}{a - \sqrt{3}})|$

$S = \frac{1}{2} |\frac{-1}{(a - \sqrt{3})(a + 1)} + \frac{-\sqrt{3}}{(a + 1)(a - \sqrt{3})}|$

$S = \frac{1}{2} |\frac{-1 - \sqrt{3}}{(a - \sqrt{3})(a + 1)}|$

$S = \frac{1}{2} \frac{1 + \sqrt{3}}{(\sqrt{3} - a)(a + 1)} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} - a)(a + 1)}$

$S = \frac{1 + \sqrt{3}}{2(-a^2 + (\sqrt{3} - 1)a + \sqrt{3})}$

(3)

$S = \frac{1 + \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} - a)(a + 1)} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2(-a^2 + (\sqrt{3}-1)a + \sqrt{3})}$

$f(a) = -a^2 + (\sqrt{3} - 1)a + \sqrt{3}$ とすると

$f(a) = -(a^2 - (\sqrt{3} - 1)a) + \sqrt{3} = -(a - \frac{\sqrt{3} - 1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3} - 1}{2})^2 + \sqrt{3}$

$f(a) = -(a - \frac{\sqrt{3} - 1}{2})^2 + \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{4} + \sqrt{3}$

$f(a) = -(a - \frac{\sqrt{3} - 1}{2})^2 + \frac{4 - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{4}$

$f(a) = -(a - \frac{\sqrt{3} - 1}{2})^2 + \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} = -(a - \frac{\sqrt{3} - 1}{2})^2 + \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

したがって、$a = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ のとき、$f(a)$ は最大となる。

このとき、$S$ は最小となる。

$S = \frac{1 + \sqrt{3}}{2f(a)} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2(\frac{2 + \sqrt{3}}{2})} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3}{4 - 3} = -1 + \sqrt{3}$

$a = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ のとき、$S = \sqrt{3} - 1$

3. 最終的な答え

(1) A(0, 1), B$(\frac{1}{a - \sqrt{3}}, \frac{a}{a - \sqrt{3}})$, C$(\frac{1}{a + 1}, \frac{a}{a + 1})$

(2) $S = \frac{1 + \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} - a)(a + 1)}$

(3) $a = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ のとき、$S = \sqrt{3} - 1$