図形の $x$ と $y$ の長さを求める問題です。内接する四角形の性質や角の二等分線の性質を利用して解く問題が含まれています。

1. 問題の内容

図形の $x$ と $y$ の長さを求める問題です。内接する四角形の性質や角の二等分線の性質を利用して解く問題が含まれています。

2. 解き方の手順

(1) 円に内接する四角形の対角の和は180度であるため、$\angle ABC + \angle AEC = 180^\circ$、$\angle BCD + \angle BED = 180^\circ$。

角の二等分線の性質より、$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD}$, $\frac{BA}{AC} = \frac{BE}{CE}$.

$\triangle ABC$と$\triangle DEC$において、$\angle BAC = \angle EDC$、$\angle ACB = \angle DEC$より、$\triangle ABC \sim \triangle DEC$。よって、$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EC}=\frac{AC}{DC}$.

$\frac{6}{10}=\frac{y}{12}$, より、$y = \frac{6 \times 12}{10} = \frac{72}{10}=7.2$.

$\frac{16}{10} = \frac{6+y}{x}$, よって、$x = \frac{10(6+7.2)}{16} = \frac{132}{16} = 8.25$.

(2) 角の二等分線の性質より、$BD:DA = 6:4=3:2$.

$\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CE}$, $\frac{6+4}{8+12} = \frac{x}{y}$より、$\frac{10}{20}=\frac{x}{y}$. $y=2x$.

$AB\times CE = AC \times BE$, $10\times CE = 20\times x$, $CE = 2x = y$.

$\triangle ABC$と$\triangle DBC$において、$\frac{BD}{AD} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$, $\frac{BC}{BE}=\frac{12}{x}$.

$\frac{6}{4}=\frac{x}{8}$ではないので、$\triangle ABC \sim \triangle DBC$ではない。

(3) 角の二等分線の性質より、$AD:DB = AC:BC$, $\frac{AD}{3}=\frac{8}{6}$. $AD=\frac{3\times8}{6}=4$.

$AB:AC = 3+12:8 = 15:8$. $BE:CE = 6:x$. $\frac{BE}{EC}=\frac{BA}{AC}$より、$\frac{6}{x}=\frac{15}{8}$. $x=\frac{6\times8}{15}=\frac{48}{15}=3.2$.

(4) $\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}$より、$\frac{6}{7}=\frac{14}{x}$. $x=\frac{14\times7}{6}=\frac{98}{6}=\frac{49}{3}=16.333\dots$.

(5) $\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}$. $\frac{y}{7.2}=\frac{8}{x}$.

$BD$は$\angle B$の二等分線であるため、$\frac{AD}{CD} = \frac{BA}{BC}$。$\angle A = \angle C$で、$AB=8$なので、$BC=8$.

$\frac{y}{7.2}=\frac{8}{x}=\frac{8}{8}=1$. $y=7.2$.

$\triangle ABC$は二等辺三角形なので、$x=8$.

(6) 角の二等分線定理より、$\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}$. よって $\frac{y}{3.7} = \frac{7.4}{3}$.

$y = \frac{3.7 \times 7.4}{3} = \frac{27.38}{3} = 9.12666\dots \approx 9.13$.

$\frac{BC}{AC}=\frac{BE}{AE}$より$\frac{3}{7.4} = \frac{x}{6.8}$。$x=\frac{3\times 6.8}{7.4}=\frac{20.4}{7.4}=2.75675 \dots \approx 2.76$.

3. 最終的な答え

(1) $x = 8.25$, $y = 7.2$

(3) $x = 3.2$

(4) $x = \frac{49}{3}=16.333\dots$

(5) $x=8$, $y=7.2$

(6) $x \approx 2.76$, $y \approx 9.13$