円の中心をOとし、円周上に点A, B, Cをとる。$\angle OAB = 20^\circ$, $\angle ACB = 25^\circ$であるとき、$\angle AOB = \theta$を求めよ。

1. 問題の内容

円の中心をOとし、円周上に点A, B, Cをとる。$\angle OAB = 20^\circ$, $\angle ACB = 25^\circ$であるとき、$\angle AOB = \theta$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle OAB$に着目する。OAとOBは円の半径なので、$OA=OB$である。したがって、$\triangle OAB$は二等辺三角形であり、$\angle OBA = \angle OAB = 20^\circ$となる。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle AOB$は、

$\angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA = 180^\circ - 20^\circ - 20^\circ = 140^\circ$である。

したがって、$\theta = 140^\circ$となる。

円周角の定理より、中心角$\angle AOB$は円周角$\angle ACB$の2倍である。しかし、この問題では円周角から中心角を求めず、三角形の性質を使って直接$\angle AOB$を求めることができた。

3. 最終的な答え

$\theta = 140^\circ$