一辺の長さが10cmの正三角形ABCがある。辺BCの延長線上にCD=6cmとなる点Dをとると、AD=14cmとなった。直線ADについて、点Bと反対側に正三角形ADEとなるように点Eをとり、線分ADと線分CEの交点をFとする。点Bと点Fを結ぶ。 (1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACE$であることを証明せよ。 (2) $\angle DEC = \alpha$のとき、$\angle CDE$の大きさを$\alpha$を用いて表せ。 (3) $\triangle ABD$の面積と$\triangle BDF$の面積の比を、最も簡単な整数の比で表せ。 (4) 線分DFの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが10cmの正三角形ABCがある。辺BCの延長線上にCD=6cmとなる点Dをとると、AD=14cmとなった。直線ADについて、点Bと反対側に正三角形ADEとなるように点Eをとり、線分ADと線分CEの交点をFとする。点Bと点Fを結ぶ。

(1) $\triangle ABD \equiv \triangle ACE$であることを証明せよ。

(2) $\angle DEC = \alpha$のとき、$\angle CDE$の大きさを$\alpha$を用いて表せ。

(3) $\triangle ABD$の面積と$\triangle BDF$の面積の比を、最も簡単な整数の比で表せ。

(4) 線分DFの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABD$と$\triangle ACE$において、

$AB = AC$ (正三角形ABCより) ...(i)

$AD = AE$ (正三角形ADEより) ...(ii)

$\angle DAB = \angle CAB + \angle CAD$

$\angle EAC = \angle EAD + \angle CAD$

$\angle CAB = \angle EAD = 60^\circ$より、

$\angle DAB = \angle EAC$ ...(iii)

(i), (ii), (iii)より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \equiv \triangle ACE$

よって、アには$\angle CAD$、イには2辺とその間の角が入る。

(2) $\triangle ADE$は正三角形なので、$\angle ADE = 60^\circ$

$\angle AED = 60^\circ$

$\angle DEC = \alpha$なので、$\angle AEC = \angle AED + \angle DEC = 60^\circ + \alpha$

$\triangle ACE \equiv \triangle ABD$なので、$\angle ABD = \angle AEC = 60^\circ + \alpha$

$\angle ACB = 60^\circ$なので、$\angle DBC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\triangle ABD$において、$\angle BAD = 180^\circ - (60^\circ + \alpha) - (120^\circ) = \alpha$

$\angle CDE = 180^\circ - \angle ADE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\angle CED = \alpha$なので、$\triangle CDE$において

$\angle DCE = 180^\circ - \angle CED - \angle CDE$

$\angle CDE = 180^\circ - \alpha - 60^\circ = 120^\circ-\alpha$

(3) $BD = BC + CD = 10 + 6 = 16$

$\triangle ABD$の面積を$S_{ABD}$、$\triangle BDF$の面積を$S_{BDF}$とする。

$\triangle ABD$と$\triangle BDF$は、底辺をそれぞれAD、DFとする三角形と見なすと、高さが共通になる。

したがって、$S_{ABD} : S_{BDF} = AD : DF$

AD = 14

$\triangle ABC$と$\triangle ADE$は正三角形なので、$\angle BAC = \angle EAD = 60^\circ$

$\angle BAD = \angle EAC$

$\triangle ABF$と$\triangle CDF$に着目すると、$\angle AFB = \angle DFC$

$\angle ABF = \angle ACE$

正弦定理より、$AD/\sin{ABF} = AB/\sin{AFB}$

$\triangle BDF$の面積は、$\frac{1}{2} BD \cdot BF \cdot \sin{DBF}$

$\triangle ABD$の面積は、$\frac{1}{2} BD \cdot AB \cdot \sin{DBA}$

$\frac{S_{ABD}}{S_{BDF}} = \frac{AD}{DF} = \frac{BC+CD}{CD} = \frac{10+6}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

(4) $\triangle ABD \sim \triangle FCD$

$\frac{AD}{FD} = \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{FC}$

$\frac{14}{FD} = \frac{16}{6}$

$FD = \frac{14 \cdot 6}{16} = \frac{84}{16} = \frac{21}{4} = 5.25$

3. 最終的な答え

(1) ア: $\angle CAD$, イ: 2辺とその間の角

(2) $120^\circ-\alpha$

(3) 8:3

(4) $\frac{21}{4}$