2つの円が点Pで接している。一方の円には角$\theta$、67°をもつ三角形が内接しており、もう一方の円には47°をもつ三角形が内接している。角$\theta$の大きさを求める。

1. 問題の内容

2つの円が点Pで接している。一方の円には角$\theta$、67°をもつ三角形が内接しており、もう一方の円には47°をもつ三角形が内接している。角$\theta$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、$\angle APB = 67^\circ$より、弧ABに対する円周角は等しいので、$\angle APB = \angle ACB= 67^\circ$となる。

* 同様に、$\angle CPD = 47^\circ$より、弧CDに対する円周角は等しいので、$\angle CPD = \angle CQD = 47^\circ$となる。

* 点Pにおける接線を引くと、接弦定理より、$\angle APB = 67^\circ$に対して$\angle TPB = \angle PAB$となる。同様に、$\angle CPD = 47^\circ$に対して$\angle TPD = \angle PCD$となる。

* 点Pにおける接線において、$\angle APB$の対頂角は$\angle CPD$の対頂角と等しい。なので、$\angle APB = 67^\circ$の対頂角と、$\angle CPD = 47^\circ$の対頂角を足し合わせると180°になる。

つまり、$\angle APB + \angle CPD = 67^\circ + 47^\circ = 114^\circ$となる。しかし$\angle APB$と$\angle CPD$は向かい合っている角なので180°になるはず。

* 点Pを通る共通接線について、接弦定理より、$\angle BPT = \angle \theta$となる。また、$\angle DPT = 47^\circ$となる。

* $\angle BPD$は一直線上にあるので、$\angle BPT + \angle DPT = 180^\circ$となる。したがって、$\angle BPT + \angle DPT = 67^\circ + \angle DPT$であり、$67^\circ + \angle DPT = 180^\circ$より$\angle DPT = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$。これはおかしい。

* $\angle APB = 67^\circ$で$\angle CPD=47^\circ$なので、$\angle APD= 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$。同様に$\angle BPC = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$となる。また、接弦定理より、$\angle ABP=47^\circ$となる。

* 三角形APBにおいて、内角の和は180°なので、$\theta + 67^\circ + 47^\circ = 180^\circ$となる。

$\theta = 180^\circ - 67^\circ - 47^\circ = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$となる。

3. 最終的な答え

$\theta = 66^\circ$