長方形ABCDにおいて、AB=6cm、BC=12cmである。点PはAからBへ毎秒1cmで移動し、点QはDからAへ毎秒2cmで移動する。PとQが同時に出発するとき、三角形APQの面積が8cm$^2$になるのは何秒後か。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=6cm、BC=12cmである。点PはAからBへ毎秒1cmで移動し、点QはDからAへ毎秒2cmで移動する。PとQが同時に出発するとき、三角形APQの面積が8cm$^2$になるのは何秒後か。

2. 解き方の手順

まず、$x$秒後のAPの長さとAQの長さを求める。

* 点Pは毎秒1cmで進むので、$x$秒後のAPの長さは$x$cmである。

* 点Qは毎秒2cmで進むので、$x$秒後のDQの長さは$2x$cmである。よって、AQの長さは$12-2x$cmとなる。

次に、三角形APQの面積を$x$で表す。

三角形APQの面積は、$\frac{1}{2} \times AP \times AQ$で表されるので、

$\frac{1}{2} \times x \times (12-2x)$となる。

三角形APQの面積が8cm$^2$になるのは、

$\frac{1}{2} x (12-2x) = 8$

が成り立つときである。これを解くと、

$x(12-2x) = 16$

$12x - 2x^2 = 16$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

$(x-2)(x-4) = 0$

$x=2, 4$

点PはAB上を動くので、$0 \le x \le 6$である。

点QはDA上を動くので、$0 \le 2x \le 12$、つまり、$0 \le x \le 6$である。

したがって、$x=2, 4$はどちらも条件を満たす。

3. 最終的な答え

2秒後と4秒後