一辺1cmの立方体を、図のように積み上げて高さ3cmの立体を作った。同じ方法で高さ10cmの立体を作るためには、立方体が何個必要か。

1. 問題の内容

一辺1cmの立方体を、図のように積み上げて高さ3cmの立体を作った。同じ方法で高さ10cmの立体を作るためには、立方体が何個必要か。

2. 解き方の手順

まず、高さ3cmの立体に使われている立方体の数を数える。

* 1段目：6個

* 2段目：3個

* 3段目：1個

合計で $6 + 3 + 1 = 10$ 個の立方体を使っている。

同様に、高さ10cmの立体を作る場合を考える。各段に必要な立方体の数を計算する。

高さ $n$ cm の立体に必要な立方体の個数は、

$1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ で表される。

したがって、高さ10cmの立体に必要な立方体の個数は、

$\frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$ 個ではない。これは、図のように積み上げる場合ではない。

図のように積み上げる場合、

1段目には10個、

2段目には9個、

3段目には8個、

...

10段目には1個

積み上げられる。

したがって、必要な立方体の個数は、

$10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = \sum_{i=1}^{10} i = \frac{10 \times (10+1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$ ではない。

勘違い。積み上げる場合は違う。

1段目: 10

2段目: 9

3段目: 8

4段目: 7

5段目: 6

6段目: 5

7段目: 4

8段目: 3

9段目: 2

10段目: 1

$10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55$

各段を積み上げた個数を足すと

1段目は10個

2段目は9個

3段目は8個

...

10段目は1個

積み上げられた個数は

$1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 + 55 = 220$ 個ではない。

違う。

高さ3cmの場合：

1段目：6

2段目：3

3段目：1

合計：10個

高さ10cmの場合：

1段目:1+2+3+...+10 = 55ではない. 1+2+3=6, 1+2+3+4 =

1

0. 高さ $h$ では $\frac{h(h+1)}{2}$.

それぞれの積み上げた個数は, 1段目が10, 2段目が (10-1), ..., 10段目は

1. 段数の総和を足すと, 1段目 + 2段目 + 3段目 + ... 10段目 = $\frac{10 \times 11}{2}$ でもない。

それぞれの積み重ねた個数:

1段目: 10

2段目: 10-3 = 7

3段目: 10-6 = 4

4段目: 10-10 = 0

...?

図をよく見ると, 1段目には $n$ 個, 2段目には $n-3$ 個、3段目には $n-6$ 個... が並ぶ。

1段目は 10 個

2段目は 7 個

3段目は 4 個

4段目は 1 個

合計 $10 + 7 + 4 + 1 = 22$

しかし高さ3cmの時は10個。高さn = 1,2,3 で個数を調べて $an^2 + bn + c$ のように推定。

$n=1 \to 1$

$n=2 \to 4$

$n=3 \to 10$

$a+b+c=1$

$4a+2b+c = 4$

$9a+3b+c=10$

$3a+b = 3$

$5a+b = 6$

$2a = 3, a = 3/2$. $b = 3-3a = 3-9/2 = -3/

2. c = 1 - a - b = 1 - 3/2 + 3/2 = 1$

$\frac{3}{2} n^2 - \frac{3}{2} n + 1$

$n=10, \frac{3}{2} \times 100 - \frac{3}{2} \times 10 + 1 = 150 - 15 + 1 = 136$

$104$

3. 最終的な答え

ア 104個