(1) $\sin A = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos A$ と $\tan A$ の値を求める。 (2) $\cos A = \frac{2}{5}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sin A = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos A$ と $\tan A$ の値を求める。

(2) $\cos A = \frac{2}{5}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin A = \frac{1}{3}$ のとき、

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ という関係式を利用する。

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos A = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$A$ が鋭角であると仮定すると、$\cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos A = \frac{2}{5}$ のとき、

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ という関係式を利用する。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$\sin A = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

$A$ が鋭角であると仮定すると、$\sin A = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan A = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) $\sin A = \frac{\sqrt{21}}{5}$, $\tan A = \frac{\sqrt{21}}{2}$