(1) 軸が $x = -2$ で、2点 $(0, -1)$ と $(-3, -4)$ を通る2次関数を求めよ。 (2) 3点 $(-1, -6)$, $(1, -2)$, $(3, 10)$ を通る2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 軸が $x = -2$ で、2点 $(0, -1)$ と $(-3, -4)$ を通る2次関数を求めよ。

(2) 3点 $(-1, -6)$, $(1, -2)$, $(3, 10)$ を通る2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 軸が $x=-2$ であることから、2次関数は $y = a(x + 2)^2 + q$ と表せる。

2点 $(0, -1)$ と $(-3, -4)$ を通ることから、以下の連立方程式を解く。

$a(0+2)^2 + q = -1$

$a(-3+2)^2 + q = -4$

整理すると、

$4a + q = -1$

$a + q = -4$

上の式から下の式を引くと、

$3a = 3$

$a = 1$

これを $a + q = -4$ に代入すると、

$1 + q = -4$

$q = -5$

したがって、2次関数は $y = (x + 2)^2 - 5 = x^2 + 4x + 4 - 5 = x^2 + 4x - 1$ である。

(2) 2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

3点 $(-1, -6)$, $(1, -2)$, $(3, 10)$ を通ることから、以下の連立方程式が成り立つ。

$a(-1)^2 + b(-1) + c = -6$

$a(1)^2 + b(1) + c = -2$

$a(3)^2 + b(3) + c = 10$

整理すると、

$a - b + c = -6$ (1)

$a + b + c = -2$ (2)

$9a + 3b + c = 10$ (3)

(2) - (1)より、

$2b = 4$

$b = 2$

(3) - (2)より、

$8a + 2b = 12$

$4a + b = 6$

$b = 2$ を代入すると、

$4a + 2 = 6$

$4a = 4$

$a = 1$

$a = 1, b = 2$ を (2) に代入すると、

$1 + 2 + c = -2$

$c = -5$

したがって、2次関数は $y = x^2 + 2x - 5$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 + 4x - 1$

(2) $y = x^2 + 2x - 5$