不等式 $27(a^4+b^4+c^4) \ge (a+b+c)^4$ を証明せよ。

1. 問題の内容

不等式 $27(a^4+b^4+c^4) \ge (a+b+c)^4$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、コーシー・シュワルツの不等式を適用する。

コーシー・シュワルツの不等式は、$x_i, y_i$を実数として、

$(\sum_{i=1}^{n} x_i^2)(\sum_{i=1}^{n} y_i^2) \ge (\sum_{i=1}^{n} x_i y_i)^2$

が成り立つというものである。

まず、$n=3$ で $x_i=1$，$y_i=a^2, b^2, c^2$ として適用すると、

$(1^2+1^2+1^2)(a^4+b^4+c^4) \ge (a^2+b^2+c^2)^2$

$3(a^4+b^4+c^4) \ge (a^2+b^2+c^2)^2$

が得られる。

次に、$n=3$ で $x_i=1$，$y_i=a, b, c$ として適用すると、

$(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$

$3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$

が得られる。

したがって、$a^2+b^2+c^2 \ge \frac{1}{3}(a+b+c)^2$

上の不等式の両辺を2乗すると、

$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge \frac{1}{9}(a+b+c)^4$

が得られる。

$3(a^4+b^4+c^4) \ge (a^2+b^2+c^2)^2$ と $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge \frac{1}{9}(a+b+c)^4$ より、

$3(a^4+b^4+c^4) \ge \frac{1}{9}(a+b+c)^4$

$27(a^4+b^4+c^4) \ge (a+b+c)^4$

よって、$27(a^4+b^4+c^4) \ge (a+b+c)^4$ が証明された。

3. 最終的な答え

$27(a^4+b^4+c^4) \ge (a+b+c)^4$