与えられた関数 $y = f(x) = (x^2 + 2) \cdot 3^x$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = f(x) = (x^2 + 2) \cdot 3^x$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式を用います。積の微分公式は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が、$(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = x^2 + 2$、 $v(x) = 3^x$ とおきます。

まず、$u(x)$ の導関数を求めます。

$u'(x) = (x^2 + 2)' = 2x$

次に、$v(x)$ の導関数を求めます。

$v'(x) = (3^x)' = 3^x \ln(3)$

したがって、積の微分公式を用いて、$f(x)$ の導関数は次のようになります。

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x \cdot 3^x + (x^2 + 2) \cdot 3^x \ln(3)$

$f'(x) = 3^x (2x + (x^2 + 2) \ln(3))$

$f'(x) = 3^x (2x + x^2 \ln(3) + 2 \ln(3))$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 3^x (x^2 \ln(3) + 2x + 2 \ln(3))$