$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x+2}+b}{x-2} = 1$ となるように、$a$、$b$ の値を定める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x+2}+b}{x-2} = 1$ となるように、$a$、$b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 2$ のとき、分母 $x-2$ は $0$ に近づく。したがって、極限値が存在するためには、分子も $0$ に近づく必要がある。つまり、

$$\lim_{x \to 2} (a\sqrt{x+2} + b) = 0$$

$x=2$ を代入すると、

$$a\sqrt{2+2} + b = 0$$

$$2a + b = 0$$

よって、

$$b = -2a$$

次に、$b = -2a$ を与式に代入すると、

$$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x+2} - 2a}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x+2} - 2)}{x-2}$$

ここで、分子を有理化するために、$\sqrt{x+2} + 2$ を分子と分母にかける。

$$\lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{a(x+2 - 4)}{(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)}$$

$$= \lim_{x \to 2} \frac{a(x-2)}{(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{a}{\sqrt{x+2} + 2}$$

$x \to 2$ のとき、

$$\frac{a}{\sqrt{2+2} + 2} = \frac{a}{\sqrt{4} + 2} = \frac{a}{2+2} = \frac{a}{4}$$

これが 1 に等しいので、

$$\frac{a}{4} = 1$$

$$a = 4$$

また、$b = -2a$ より、

$$b = -2(4) = -8$$

3. 最終的な答え

$a = 4$, $b = -8$