問題は、媒介変数表示された関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。 具体的には、与えられた媒介変数 $t$ を用いて表された $x(t)$ と $y(t)$ から、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を計算します。 問題文には全部で８つの媒介変数表示された関数が記載されています。

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は、媒介変数表示された関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。 具体的には、与えられた媒介変数 $t$ を用いて表された $x(t)$ と $y(t)$ から、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を計算します。 問題文には全部で８つの媒介変数表示された関数が記載されています。

2. 解き方の手順

$\frac{dy}{dx}$ を求めるには、まず $x(t)$ と $y(t)$ をそれぞれ $t$ で微分し、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を求めます。 次に、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を計算します。 ここで、$\frac{dx}{dt} \neq 0$ であることに注意する必要があります。

以下では、個々の問題に対して、この手順を適用していきます。

(1) $\begin{cases} x = 2t^2 \\ y = t^2 - 1 \end{cases}$

$\frac{dx}{dt} = 4t$

$\frac{dy}{dt} = 2t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{4t} = \frac{1}{2}$

(2) $\begin{cases} x = t^2 \\ y = t(1-t) \end{cases}$

$\frac{dx}{dt} = 2t$

$\frac{dy}{dt} = 1 - 2t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1-2t}{2t}$

(3) $\begin{cases} x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{cases}$

$\frac{dx}{dt} = -r \sin t$

$\frac{dy}{dt} = r \cos t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{r \cos t}{-r \sin t} = - \cot t$

(4) $\begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin 2t \end{cases}$

$\frac{dx}{dt} = - \sin t$

$\frac{dy}{dt} = 2 \cos 2t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cos 2t}{-\sin t} = - \frac{2 \cos 2t}{\sin t}$

(5) $\begin{cases} x = r(t - \sin t) \\ y = r(1 - \cos t) \end{cases}$

$\frac{dx}{dt} = r(1 - \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = r \sin t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{r \sin t}{r(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$

$\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{2\sin(t/2)\cos(t/2)}{2\sin^2(t/2)}=\frac{\cos(t/2)}{\sin(t/2)}=\cot(t/2)$

(6) $\begin{cases} x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\ y = \frac{2t}{1 + t^2} \end{cases}$

$\frac{dx}{dt} = \frac{-2t(1+t^2)-(1-t^2)(2t)}{(1+t^2)^2} = \frac{-2t-2t^3-2t+2t^3}{(1+t^2)^2} = \frac{-4t}{(1+t^2)^2}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{2(1+t^2)-(2t)(2t)}{(1+t^2)^2} = \frac{2+2t^2-4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(1-t^2)/(1+t^2)^2}{-4t/(1+t^2)^2} = \frac{2(1-t^2)}{-4t} = \frac{t^2-1}{2t}$

(7) $\begin{cases} x = e^t + e^{-t} \\ y = e^t - e^{-t} \end{cases}$

$\frac{dx}{dt} = e^t - e^{-t}$

$\frac{dy}{dt} = e^t + e^{-t}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^t + e^{-t}}{e^t - e^{-t}}$

(8) $\begin{cases} x = e^t \cos t \\ y = e^t \sin t \end{cases}$

$\frac{dx}{dt} = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t(\cos t - \sin t)$

$\frac{dy}{dt} = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t(\sin t + \cos t)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^t(\sin t + \cos t)}{e^t(\cos t - \sin t)} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1-2t}{2t}$

(3) $\frac{dy}{dx} = - \cot t$

(4) $\frac{dy}{dx} = - \frac{2 \cos 2t}{\sin t}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \cot \frac{t}{2}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{t^2 - 1}{2t}$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{e^t + e^{-t}}{e^t - e^{-t}}$

(8) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}$