$A$が鋭角で、$\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$のとき、$\sin A$と$\tan A$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$A$が鋭角で、$\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$のとき、$\sin A$と$\tan A$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$A$は鋭角なので、$\sin A > 0$、$\cos A > 0$、$\tan A > 0$である。

まず、三角関数の基本公式 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を利用して、$\sin A$を求める。

$\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 A + (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = 1$

$\sin^2 A + \frac{5}{9} = 1$

$\sin^2 A = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

$\sin A = \pm \sqrt{\frac{4}{9}} = \pm \frac{2}{3}$

$A$は鋭角なので、$\sin A > 0$より、

$\sin A = \frac{2}{3}$

次に、$\tan A$を求める。$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$であるから、

$\tan A = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin A = \frac{2}{3}$

$\tan A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$