与えられた等式 $\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \sin^2 \theta$ を証明する。

1. 問題の内容

与えられた等式 $\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \sin^2 \theta$ を証明する。

2. 解き方の手順

左辺を変形して右辺と等しくなることを示す。

まず、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることを用いる。

左辺は

$$\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \sin^2 \theta$$

共通因数 $\sin^2 \theta$ でくくると

$$\sin^2 \theta \left( \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1 \right)$$

ここで $\frac{1}{\cos^2 \theta} = \frac{1-\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ であるから

$$\sin^2 \theta \left( \frac{1-\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} \right)$$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、 $1-\cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ なので

$$\sin^2 \theta \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \right)$$

$$= \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \sin^2 \theta$$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より

$$= \tan^2 \theta \sin^2 \theta$$

これは右辺に等しい。

3. 最終的な答え

したがって、与えられた等式 $\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \sin^2 \theta$ は証明された。