$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$、辺 $AB$ の中点を $E$ とします。2つの線分 $BC$、$DE$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ として $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表してください。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$、辺 $AB$ の中点を $E$ とします。2つの線分 $BC$、$DE$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ として $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表してください。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $BC$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OB} + s\overrightarrow{OC}$

と表せます。ここで、$\overrightarrow{OC} = \frac{3}{5}\vec{a}$ なので、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{b} + s\left(\frac{3}{5}\vec{a}\right) = \frac{3s}{5}\vec{a} + (1-s)\vec{b}$

と表せます。

次に、点 $P$ が線分 $DE$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OD} + t\overrightarrow{OE}$

と表せます。ここで、$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3}\vec{b}$、$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$ なので、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\left(\frac{1}{3}\vec{b}\right) + t\left(\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\right) = \frac{t}{2}\vec{a} + \left(\frac{1-t}{3} + \frac{t}{2}\right)\vec{b} = \frac{t}{2}\vec{a} + \left(\frac{2-2t+3t}{6}\right)\vec{b} = \frac{t}{2}\vec{a} + \frac{2+t}{6}\vec{b}$

と表せます。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{3s}{5} = \frac{t}{2}$

$1-s = \frac{2+t}{6}$

という連立方程式を得ます。

一つ目の式から $t = \frac{6s}{5}$ が得られ、これを二つ目の式に代入すると

$1-s = \frac{2+\frac{6s}{5}}{6}$

$6-6s = 2+\frac{6s}{5}$

$4 = \frac{36s}{5}$

$s = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

$t = \frac{6}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{2}{3}$

これらを代入して、$\overrightarrow{OP}$ を求めます。

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{9}\vec{a} + \left(1-\frac{5}{9}\right)\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$

または

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2+\frac{2}{3}}{6}\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{\frac{8}{3}}{6}\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$