与えられた数列の和を計算する問題です。数列は $1 \cdot (n-1)^2 + 2 \cdot (n-2)^2 + 3 \cdot (n-3)^2 + \dots + (n-2) \cdot 2^2 + (n-1) \cdot 1^2$ であり、$n \geq 2$ という条件が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算する問題です。数列は $1 \cdot (n-1)^2 + 2 \cdot (n-2)^2 + 3 \cdot (n-3)^2 + \dots + (n-2) \cdot 2^2 + (n-1) \cdot 1^2$ であり、$n \geq 2$ という条件が与えられています。

2. 解き方の手順

数列の一般項を求め、$\Sigma$を用いて和の式を立て、計算します。

数列の一般項は $k(n-k)^2$ と表せます。ここで、$k$は1から$n-1$までの整数です。

したがって、求める和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)^2$

これを展開して計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k(n^2 - 2nk + k^2) = \sum_{k=1}^{n-1} (n^2k - 2nk^2 + k^3)$

$\sum$の性質を用いて分解します。

$= n^2 \sum_{k=1}^{n-1} k - 2n \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k^3$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^3 = \left( \frac{(n-1)n}{2} \right)^2 = \frac{(n-1)^2 n^2}{4}$

これらの公式を代入します。

$= n^2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - 2n \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)^2 n^2}{4}$

$= \frac{n^3(n-1)}{2} - \frac{n^2(n-1)(2n-1)}{3} + \frac{n^2(n-1)^2}{4}$

$= \frac{6n^3(n-1) - 4n^2(n-1)(2n-1) + 3n^2(n-1)^2}{12}$

$= \frac{n^2(n-1) [6n - 4(2n-1) + 3(n-1)]}{12}$

$= \frac{n^2(n-1) [6n - 8n + 4 + 3n - 3]}{12}$

$= \frac{n^2(n-1) [n + 1]}{12}$

$= \frac{n^2(n^2 - 1)}{12}$

$= \frac{n^4 - n^2}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{n^4 - n^2}{12}$

または

$\frac{n^2(n^2-1)}{12}$

または

$\frac{n^2(n-1)(n+1)}{12}$