数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n + 3^{n+1}$ (n=1, 2, 3, ...) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n + 3^{n+1}$ (n=1, 2, 3, ...) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3^{n+1}$ を解く。

まず、$a_{n+1} = 2a_n + 3^{n+1}$ の両辺を $2^{n+1}$ で割る。

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \frac{3^{n+1}}{2^{n+1}}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくと、

$b_{n+1} = b_n + \left( \frac{3}{2} \right)^{n+1}$

数列 $\{b_n\}$ は、初項 $b_1 = \frac{a_1}{2^1} = \frac{3}{2}$、公差 $\left( \frac{3}{2} \right)^{n+1}$ の数列ではなく、階差数列が $\left( \frac{3}{2} \right)^{n+1}$ である。

$n \ge 2$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{3}{2} \right)^{k+1} = \frac{3}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{3}{2} \right)^{k+1}$

$b_n = \frac{3}{2} + \left( \frac{3}{2} \right)^2 \sum_{k=0}^{n-2} \left( \frac{3}{2} \right)^{k} = \frac{3}{2} + \left( \frac{3}{2} \right)^2 \frac{1 - \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}}{1 - \frac{3}{2}}$

$b_n = \frac{3}{2} + \frac{9}{4} \frac{1 - \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}}{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} - \frac{9}{2} \left( 1 - \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} \right)$

$b_n = \frac{3}{2} - \frac{9}{2} + \frac{9}{2} \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} = -3 + \frac{9}{2} \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} = -3 + \frac{9}{2} \frac{3^{n-1}}{2^{n-1}}$

$b_n = -3 + \frac{3^{n+1}}{2^n}$

これは、$n=1$ のとき、$b_1 = -3 + \frac{3^2}{2^1} = -3 + \frac{9}{2} = \frac{3}{2}$ となり成り立つ。

よって、$b_n = -3 + \frac{3^{n+1}}{2^n}$

$a_n = 2^n b_n = 2^n \left( -3 + \frac{3^{n+1}}{2^n} \right)$

$a_n = -3 \cdot 2^n + 3^{n+1}$

3. 最終的な答え

$a_n = -3 \cdot 2^n + 3^{n+1}$

または

$a_n = 3^{n+1} - 3 \cdot 2^n$