与えられた２つの２次関数 $f(x)$ と $g(x)$ について、それぞれの最小値を $M$ と $m$ とする。 (1) $a=0$ のときの $M$ の値を求める。 (2) $m$ を $a, k$ を用いて表す。 (3) $M$ と $m$ の小さくない方を $a$ の関数 $h(a)$ とする。 (i) $k=-1$ のとき、$h(a) = -\frac{1}{4}$ となるような $a$ の値を求める。 (ii) $h(a)$ が、異なる3個以上の $a$ の値に対して同じ値をとるような $k$ のとり得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた２つの２次関数 $f(x)$ と $g(x)$ について、それぞれの最小値を $M$ と $m$ とする。

(1) $a=0$ のときの $M$ の値を求める。

(2) $m$ を $a, k$ を用いて表す。

(3) $M$ と $m$ の小さくない方を $a$ の関数 $h(a)$ とする。

(i) $k=-1$ のとき、$h(a) = -\frac{1}{4}$ となるような $a$ の値を求める。

(ii) $h(a)$ が、異なる3個以上の $a$ の値に対して同じ値をとるような $k$ のとり得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a=0$ のとき、

$f(x) = x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2$

よって、$M = 2$

(2) $g(x) = 2x^2 - 2ax - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k = 2(x^2 - ax) - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k$

$= 2(x - \frac{a}{2})^2 - 2(\frac{a}{2})^2 - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k = 2(x - \frac{a}{2})^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k$

$= 2(x - \frac{a}{2})^2 - a^2 + 2a + k$

よって、$m = -a^2 + 2a + k$

(3)

(i) $k=-1$ のとき、$m = -a^2 + 2a - 1 = -(a-1)^2$

$f(x) = x^2 + (2-2a)x - 6a + 3 = (x + (1-a))^2 - (1-a)^2 - 6a + 3$

$= (x + (1-a))^2 - (1 - 2a + a^2) - 6a + 3 = (x + (1-a))^2 - a^2 - 4a + 2$

よって、$M = -a^2 - 4a + 2$

$h(a) = -\frac{1}{4}$ となる $a$ を求める。

$M \ge m$ のとき、$-a^2 - 4a + 2 = -\frac{1}{4}$

$a^2 + 4a - \frac{9}{4} = 0$

$4a^2 + 16a - 9 = 0$

$(2a + 9)(2a - 1) = 0$

$a = -\frac{9}{2}, \frac{1}{2}$

$M \le m$ のとき、$-(a-1)^2 = -\frac{1}{4}$

$(a-1)^2 = \frac{1}{4}$

$a-1 = \pm \frac{1}{2}$

$a = 1 \pm \frac{1}{2} = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

$M \ge m$ を満たすか確認する。

$a = -\frac{9}{2}$ のとき、$M = -a^2 - 4a + 2 = -\frac{81}{4} + 18 + 2 = -\frac{81}{4} + 20 = -\frac{1}{4}$

$m = -(a-1)^2 = -(-\frac{11}{2})^2 = -\frac{121}{4}$

$M > m$ を満たす。

$a = \frac{1}{2}$ のとき、$M = -a^2 - 4a + 2 = -\frac{1}{4} - 2 + 2 = -\frac{1}{4}$

$m = -(a-1)^2 = -(\frac{1}{2}-1)^2 = -(-\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}$

$M = m$ を満たす。

$M \le m$ を満たすか確認する。

$a = \frac{3}{2}$ のとき、$M = -a^2 - 4a + 2 = -\frac{9}{4} - 6 + 2 = -\frac{9}{4} - 4 = -\frac{25}{4}$

$m = -(a-1)^2 = -(\frac{3}{2} - 1)^2 = -(\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}$

$M < m$ を満たす。

$a = \frac{1}{2}$ のとき、$M = m = -\frac{1}{4}$ を満たす。

よって、$a = -\frac{9}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

(ii) $M=-a^2-4a+2$

$m=-a^2+2a+k$

$M-m=-6a+2-k$

$h(a)$ が異なる3個以上のaの値に対して同じ値をとるとき、$M=m$となるaが３つ以上存在する必要がある。

つまり、$-6a+2-k=0$ となるaが３つ以上存在すればよい。

この式はaに関して一次式なので、aは一つしか求まらない。

$M = m$　となるとき、$h(a) = M = m$ となる。

$M=m$ となる条件は

$M-m=0$ より、$6a=2-k$

$a=\frac{2-k}{6}$

$M = -(\frac{2-k}{6})^2-4(\frac{2-k}{6})+2$

これが、$k$ の条件を満たす値である。

$h(a)$が一定の値となるためには、$M=m$ となる条件では不可能である。

$M>m$となる区間と、$M<m$となる区間を考慮する必要がある。

3. 最終的な答え

(1) $M = 2$

(2) $m = -a^2 + 2a + k$

(3) (i) $a = -\frac{9}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

(ii) 答えが導出できませんでした。